Đề bài
Câu 1 [2 điểm]: Tìm \[x\] để biểu thức sau xác định:
a] \[\sqrt {x - 3} \] b] \[\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \]
Câu 2 [2 điểm]: Thực hiện phép tính:
a] \[\sqrt 5 .\sqrt {45} \] b] \[\sqrt {12} - \sqrt {27} + \sqrt 3 \] c] \[\sqrt {7 + 2\sqrt 6 } - \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } \]
Câu 3 [2 điểm]: Giải phương trình:
a] \[\sqrt {3x - 2} = 6\] b] \[\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} = 5\]
Câu 4 [3,5 điểm]: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] có \[AB = 12cm,\] \[AC = 16cm.\] Kẻ đường cao \[AM.\] Kẻ \[ME \bot AB.\]
a] Tính \[BC,\,\,\angle B,\,\,\angle C.\]
b] Tính độ dài \[AM,\,\,BM.\]
c] Chứng minh \[AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\]
Câu 5 [0,5 điểm]:
a] Với \[a,\,\,b \ge 0.\] Chứng minh \[a + b \ge 2\sqrt {ab} .\]
b] Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \[S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\] biết \[x + y = 6.\]
Lời giải chi tiết
Câu 1
Phương pháp:
Biểu thức \[\sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge 0.\]
Cách giải:
a] \[\sqrt {x - 3} \]
Biểu thức \[\sqrt {x - 3} \] xác định \[ \Leftrightarrow x - 3 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow x \ge 3.\]
Vậy \[x \ge 3\] thì biểu thức \[\sqrt {x - 3} \] xác định.
b] \[\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \]
Biểu thức \[\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \] xác định \[ \Leftrightarrow - \frac{2}{{2x - 1}} \ge 0\] \[ \Leftrightarrow 2x - 1 0} \right]\\ = \sqrt 6 + 1 - \sqrt 6 + 1\\ = 2.\end{array}\]
Câu 3
Phương pháp:
Giải phương trình: \[\sqrt {f\left[ x \right]} = a\,\,\left[ {a \ge 0} \right]\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \ge 0\\f\left[ x \right] = {a^2}\end{array} \right..\]
\[\sqrt {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2}} = a\,\,\left[ {a \ge 0} \right]\] \[ \Leftrightarrow \left| {f\left[ x \right]} \right| = a\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = a\\f\left[ x \right] = - a\end{array} \right..\]
Cách giải:
Giải phương trình:
a] \[\sqrt {3x - 2} = 6\]
Điều kiện: \[3x - 2 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}\]
Khi đó ta có phương trình \[ \Leftrightarrow 3x - 2 = {6^2}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x - 2 = 36\\ \Leftrightarrow 3x = 38\\ \Leftrightarrow x = \frac{{38}}{3}\,\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = \frac{{38}}{3}.\]
b] \[\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} = 5\]
Điều kiện: \[x \in \mathbb{R}.\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\x - 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm: \[S = \left\{ { - 4;\,\,6} \right\}.\]
Câu 4
Phương pháp:
a] Sử dụng định lý Pitago để tính \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} .\]
Sử dụng các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lý tổng số đo của 3 góc trong tam giác để tính số đo của \[\angle B,\,\,\angle C.\]
b] Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] có đường cao \[AM\] ta có: \[AM.BC = AB.AC\] và \[A{B^2} = BM.BC.\]
c] Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \[AMB\] vuông tại \[A,\] có đường cao \[ME\] ta có: \[A{M^2} = AE.AB\] và định lý Pitago cho \[\Delta AMC\] vuông tại \[M\] để chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.
Cách giải:
a] Tính \[BC,\,\,\angle B,\,\,\angle C.\]
Áp dụng định lý Pitago cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] ta có:
\[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \] \[ = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {400} \] \[ = 20\,\,cm.\]
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] ta có:
\[\sin \angle B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{16}}{{20}} = 0,8\] \[ \Rightarrow \angle B \approx {53^0}.\]
\[ \Rightarrow \angle C = {90^0} - \angle B\] \[ = {90^0} - {53^0} = {37^0}.\]
b] Tính độ dài \[AM,\,\,BM.\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] có đường cao \[AM\] ta có: \[AM.BC = AB.AC\]
\[ \Rightarrow AM = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{12.16}}{{20}} = 9.6\,\,\left[ {cm} \right].\]
Lại có: \[A{B^2} = BM.BC\] \[ \Rightarrow BM = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2\,\,cm.\]
Vậy \[AM = 9,6\,\,cm\] và \[BM = 7,2\,\,cm.\]
c] Chứng minh \[AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \[AMB\] vuông tại \[A,\] có đường cao \[ME\] ta có: \[A{M^2} = AE.AB\]
Áp dụng định lý Pitago cho \[\Delta AMC\] vuông tại \[M\] ta có: \[A{M^2} = A{C^2} - M{C^2}\]
\[ \Rightarrow AE.AB = A{C^2} - M{C^2}\,\,\left[ { = A{M^2}} \right]\,\,\left[ {dpcm} \right].\]
Câu 5
Phương pháp:
a] Áp dụng hằng đẳng thức: \[{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0.\]
b] Áp dụng bất đẳng thức \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \] khi \[a,\,\,b \ge 0\] để tìm GTLN của biểu thức.
Cách giải:
a] Với \[a,\,\,b \ge 0.\] Chứng minh \[a + b \ge 2\sqrt {ab} .\]
Với mọi \[a,\,\,b \ge 0\] ta có: \[{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\] \[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\left[ {dpcm} \right].\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow a = b.\]
b] Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \[S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\] biết \[x + y = 6.\]
Điều kiện: \[x \ge 2,\,\,y \ge 3.\]
Ta có: \[S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {S^2} = x - 2 + y - 3 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x + y - 5 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 5 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} .\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng thức \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \] với \[a,\,\,b \ge 0\] ta có:
\[2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} \le x - 2 + y - 3 = 6 - 5 = 1\]
\[ \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {y - 3} \right]} \le 1 + 1 = 2\]
\[ \Rightarrow {S^2} \le 2 \Rightarrow S \le \sqrt 2 .\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = y - 3\\x + y = 6\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\x + y = 6\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\,\,\left[ {tm} \right]\\y = \frac{7}{2}\,\,\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]
Vậy giá trị lớn nhất của \[S = \sqrt 2 \] khi \[\left[ {x;\,\,y} \right] = \left[ {\frac{5}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right].\]