Đề bài
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \[a\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi \[AH\] là đường cao hạ từ đỉnh \[A\] của tứ diện đều \[ABCD\] \[\left[{H \in [BCD]} \right]\].
+] Do tứ diện \[ABCD\] đều, chứng minh \[H\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
+] Sử dụng định lí Pytago tính độ dài \[AH\].
+] Áp dụng công thức tính thể tích:\[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\].
Lời giải chi tiết
Cho tứ diện đều \[ABCD\]. Hạ\[AH \bot \left[ {BCD} \right]\]
Dễ dàng chứng minh được\[{\Delta _v}AHB = {\Delta _v}AHC = {\Delta _v}AHD\,\,\left[ {ch - cgv} \right] \] \[\Rightarrow HB = HC = HD,\] do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[BCD\].
Do \[BCD\] là tam giác đều nên \[H\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\].
Gọi \[M\] là trung điểm \[CD\] thì \[BM\] vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.
Ta có: \[BM = BD\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Do đó \[BH = \frac{2}{3}BM= \displaystyle{2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\]
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[ABH\] ta có:\[A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \] \[\Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
Do tam giác \[BCD\] đều cạnh \[a\] nên:\[{S_{BCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
Vậy\[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}} \] \[= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \] \[= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\]