Đường trung tuyến là một trong những nội dung rất quan trọng trong hình học. Hiểu rõ về đường trung tuyến sẽ giúp các bạn có thể áp dụng giải các bài tập một cách nhanh nhất và chính xác nhất.
Vậy đường trung tuyến là đường gì? Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác? Công thức tính độ dài đường trung tuyến? Các dạng bài tập liên quan đến đường trung tuyến?… Hãy cùng mình đi tìm câu trả lời trong bài viết dưới đây nhé.
Đường trung tuyến là gì?
Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng được nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có 3 đường trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều. Mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.
Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, BM, CN chính là 3 đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất đường trung tuyến
- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
- Giao điểm của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
- Vị trí của trọng tâm tam giác: trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ: Trong tam giác ABC:
Ta gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, AI, BM, CN lần lượt là các trung tuyến được kẻ từ các đỉnh tương ứng A, B, C. Ta sẽ có biểu thức sau:
Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác. Một tam giác được coi là tam giác vuông khi nó có một góc bằng 90 độ và hai cạnh tạo nên góc đó vuông góc với nhau.
Tam giác vuông cũng là một tam giác nên nó sẽ có đầy đủ các tính chất đường trung tuyến của một tam giác vậy. Tuy nhiên, đường trung tuyến của tam giác vuông cũng có một số điểm đặc biệt. Chẳng hạn như:
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ có độ dài bằng nửa cạnh huyền
- Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B:
Trong tam giác ABC vuông tại B thì độ dài đường trung tuyến BM sẽ bằng đoạn MA và bằng MC và đều bằng 1/2 AC.
Ngược lại, nếu có một tam giác mà đường trung tuyến BM bằng 1/2 AC thì tam giác ABC đó sẽ là tam giác vuông tại B.
Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Nếu gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì ta có thể tính độ dài 3 đường trung tuyến bằng công thức sau:
Sau khi đã hiểu được định nghĩa về đường trung tuyến thì bạn cũng cần nắm được công thức tính độ dài đường trung tuyến hay gặp để hoàn thành tốt các bài tập nhé.
Các dạng bài thường gặp về đường trung tuyến
Dạng 1: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
Khi gặp dạng bài này, phương pháp giải như sau:
Với dạng toán này, chúng ta phải chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác.
Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF lần lượt là 3 trung tuyến, lúc này ta có:
Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt
Đây là dạng toán đường trung tuyến ở các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông.
Khi gặp dạng toán như này, bạn cần lưu ý phương pháp giải như sau:
Hãy luôn nhớ rằng trong tam giác cân hay tam giác đều thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy sẽ chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Như vậy, trên đây là những kiến thức cơ bản nhất về tính chất đường trung tuyến mà mình đã chia sẻ với các bạn. Mình nghĩ rằng những kiến thức này thì bất kỳ ai cũng cần nắm chắc để có cơ sở hoàn thành các dạng toán khó hơn. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp ích thật nhiều cho các bạn trong quá trình học tập nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm theo dõi! Chúc các bạn sức khỏe và thành công!
Hiên nay, có rất nhiều bạn học sinh không nắm được định nghĩa đường trung tuyến là gì, tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong tâm giác như thế nào? Chính vì vậy, THPT CHUYÊN LAM SƠN chia sẻ lý thuyết đường trung tuyến trong tam giác là gì? Tính chất của đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó.
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
Ví dụ: Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường
- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm.
- Khoảng cách từ trong tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.
- Khoảng cách từ trong tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng đường 1/3 trung tuyến tương ứng với điểm đó.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau. Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1: Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
- Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đó và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.
Trong đó:
- a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
- ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
Tham khảo thêm:
Bài tập tính đường trung tuyến trong tam giác có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
a] Chứng minh: AM ⊥ BC;
b] Tính độ dài AM.
Lời giải:
a. Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC
Mặt khác ABC cân tại A
⇒ AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM ⊥ BC
b. Ta có
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có:
AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172– 82= 225 ⇒ AM= 15Cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC [c – c – c]
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC [1]
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC [2]
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến [là độ dài đoạn thẳng] nên nó luôn dương, do đó:
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a] M là trung điểm của CD
b] AM = 12BC.
a, Xét: ΔBDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác:
AE = 1/3AC ⇒ CE = 2/3AC.
⇒ E là trọng tâm Δ BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến Δ BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b, A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
⇒ AM là đường trung bình của Δ BDC
⇒ AM = 1/2BC
Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác có thể giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng nhé