Luỹ thừa của luỹ thừa là một dạng đặc biệt trong phần kiến thức luỹ thừa lớp 12. Có công thức phức tạp hơn, cách biến đổi cần nhiều bước và sáng tạo hơn luỹ thừa dạng cơ bản, tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải thì các bài toán dạng này không hề khó giải.
Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:
Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa - luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!
Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết
1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa
1.1. Định nghĩa
Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần.
Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.
Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.
1.2. Phân loại luỹ thừa
Như chương trình THPT đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.
Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:
$a^n=a.a.a.a…..a$ [$n$ thừa số $a$]
Với $a^0$ thì $a^0=1, a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lưu ý:
$0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$
Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
Ví dụ:
Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực
Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a[r^n]$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $
Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:
1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản
Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:
Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:
Tính chất về bất đẳng thức:
- So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
- Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
- Với $0b>0\Rightarrow a^n>b^n$
- Với số mũ âm $nb>0\Rightarrow a^n