VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Hai đường thẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Hai đường thẳng song song: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau [hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau] thì a và b song song với nhau. Nhận xét. Như vậy, ta có hai đường thẳng a và b song song với nhau nếu một trong các điều kiện sau xảy ra: Ab1 = B 1; Ab2 = B 2; Ab3 = B 3; Ac4 = B 4; Ab1 = B 3; Ac4 = B 2. A B 2 4 1 3 2 4 1 3 Hai đường thẳng a và b song song thì Kí hiệu a k b. Khi đó ta còn vó thể nói: Đường thẳng a song song với đường thẳng b”hoặc Đường thẳng b song song với đường thẳng a”. 2. Vẽ hai đường thẳng song song Qua một điểm O ở ngoài đường thẳng a chỉ kẻ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng a. Bài toán: Cho một điểm O và một đường thẳng a không đi qua O. Hãy vẽ đường thẳng b đi qua O và song song với đường thẳng a. Cách thực hiện Ta có thể chọn một trong các cách sau đây: Cách 1: Cách vẽ đường thẳng b được minh họa qua các hình vẽ. O a O a O a O a b Hình ban đầu Đặt êke với một cạnh góc vuông trùng với đường thẳng a và cạnh huyền đi qua O. Dùng bút vạch một tia trên cạnh huyền. Đặt êke với cạnh huyền trùng với tia vừa vẽ và một đỉnh trùng với O. Dùng bút vạch một tia trên cạnh góc vuông. Đặt thước trùng với tia vừa vẽ và dùng thước kéo dài tia. Cách 2: Cách vẽ đường thẳng b được minh họa qua các hình vẽ. O a O a O a O a b 3. Tính chất của hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì 1 Hai góc so le trong bằng nhau. 2 Hai góc đồng vị bằng nhau. 3 Hai góc trong cùng phía bù nhau. 4! Nếu a k b thì mỗi đoạn thẳng [mỗi tia] thuộc đường thẳng a sẽ song song với mỗi đoạn [mỗi tia] thuộc đường thẳng b. Hai đoạn thẳng [hoặc hai tia] không có điểm chung thì chưa chắc song song với nhau. 4. Cặp góc có cạnh tương ứng song song Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng bằng nhau hoặc bù nhau, cụ thể: 1 Chúng bằng nhau nếu hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù. 2 Chúng bù nhau nếu góc này nhọn và góc kia tù. 3 Nếu một góc vuông thì góc còn lại cũng vuông. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Hãy điền vào hình sau số đo của các góc còn lại 80◦ 42◦ 42◦ a b LỜI GIẢI. Từ hình vẽ ta thấy a k b, nên ta nhận được kết quả điền như sau 138◦ 138◦ 80◦ 80◦ 42◦ 42◦ 100◦ 100◦ 42◦ 42◦ 138◦ 138◦ 80◦ 80◦ 100◦ 100◦ a b D A C B VÍ DỤ 2. Biết rằng hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c. Chứng tỏ rằng a k b. LỜI GIẢI. Theo giả thiết : a ⊥ c ⇔ Ab1 = 90◦ ; b ⊥ c ⇔ B 1 = 90◦. 1 1 A B a b c Khi đó, ta nhận được Ab1 + B 1 = 90◦ + 90◦ = 180◦ ⇔ a k b, vì có hai góc trong cùng phía bù nhau. VÍ DỤ 3. Tính các góc của tứ giác ABCD [AB k CD], biết Ab = 3D, B − Cb = 30◦. LỜI GIẢI. Vì ABCD là hình thang với AB k CD, ta có 180◦ = Ab + D = 3D + D ⇔ D = 45◦ ⇒ Ab = 135◦. 180◦ B −C =30◦ = [30◦ + Cb] + Cb = 30◦ + 2Cb ⇔ Cb = 75◦ ⇒ B = 180◦ − Cb = 105◦. A B D C VÍ DỤ 4. Trên hình vẽ bên, cho AOB ’ = 120◦ và Ot là tia phân giác của góc AOB ’. Chứng minh rằng Ax k Ot và By k Ot. 60◦ 120◦ 1 2 B O A v t x LỜI GIẢI. Theo giả thiết, Ot là tia phân giác của góc AOB ’ = 120◦ nên Ob1 = Ob2 = 60◦. Nhận xét rằng: Vì Ob1 = OBy nên Ot k By bởi vì chúng có hai góc so le trong bằng nhau. Vì Ob2 + OAx = 180◦ nên Ot k Ax bởi vì chúng có hai góc trong cùng phía bù nhau. VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC. Tính tổng Ab + B + Cb. LỜI GIẢI. Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC, ta nhận thấy ngay: B = Ab1 vì là cặp góc so le trong; Cb = Ab3 vì là cặp góc so le trong. Khi đó: Ab + B + Cb = Ab + Ab1 + Ab3 = 180◦. 1 3 A d B C Nhận xét. Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng phương pháp dựng thêm hình phụ để thực hiện. Nếu biết cách vận dụng phương pháp này thì nhiều bài toán sẽ được giải quyết một cách khá đơn giản. Chúng ta sẽ còn gặp lại phương pháp này trong những chủ đề tiếp theo. Qua ví dụ trên ta ghi nhận được một kết quả Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180◦ ” VÍ DỤ 6. Cho a k b, chứng tỏ rằng nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b. LỜI GIẢI. Giả sử đường thẳng c cắt đường thẳng a tại M. Giả sử ngược lại c không cắt b, tức là c k b. Khi đó Qua điểm M kẻ được hai đường thẳng phân biệt a và c song song với b”, điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ-clit. Vậy c luôn cắt b. a c b M Nhận xét. 1. Trong ví dụ trên ta đã sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng để thực hiện. Lược đồ khi sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh tính chất K được minh họa theo các bước: Bước 1: Giả sử trái lại tính chất K không đúng, khi đó ta có tính chất K’. Bước 2: Khai thác tính chất K’ dẫn tới mâu thuẫn. Bước 3: Kết luận về tính chất K. 2. Qua ví dụ trên ta ghi nhận được một kết quả: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cắt đường thẳng còn lại”. VÍ DỤ 7. Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ n + 1 đường thẳng phân biệt. Chứng minh rằng ít nhất cũng có n đường thẳng cắt a. LỜI GIẢI. Giả sử ngược lại, trong số n + 1 đường thẳng phân biệt kẻ qua A có chưa đến n đường thẳng cắt a. Suy ra, còn lại ít nhất hai đường thẳng không cắt a. Vậy hai đường thẳng đó sẽ cùng đi qua A và song song với a, điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ -clít. Vậy ít nhất cũng có n đường thẳng cắt a. 1. Bài tập luyện tập BÀI 1. Biết a k b, điền vào hình sau các góc còn lại 125◦ a b A B 33◦ a b A B LỜI GIẢI. Theo giả thiết a k b nên một đường thẳng cắt hai đường thẳng nói trên tạo ra các cặp góc đồng vị bằng nhau và các cặp góc so le trong bằng nhau. Dựa vào quan hệ đồng vị và so le trong của các góc ta có giá trị các góc được điền như hình vẽ A B 125◦ 125◦ 55◦ 55◦ 55◦ 55◦ 125◦ 125◦ a b A B 33◦ 33◦ 147◦ 147◦ 33◦ 33◦ 147◦ 147◦ a b BÀI 2. Hãy điền vào hình sau số đo của các góc còn lại 78◦ 34◦ 34◦ a b 63◦ 30◦ 30◦ a b LỜI GIẢI. Dựa vào hình vẽ ta thấy a k b [do có hai góc đồng vị bằng nhau]. Dựa vào quan hệ đồng vị và so le trong của các góc ta có giá trị các góc được điền như hình vẽ A B D C 78◦ 78◦ 102◦ 102◦ 34◦ 34◦ 146◦ 146◦ 34◦ 34◦ 146◦ 146◦ 102◦ 102◦ 78◦ 78◦ a b A B D C 63◦ 63◦ 117◦ 117◦ 30◦ 30◦ 150◦ 150◦ 30◦ 30◦ 150◦ 150◦ 117◦ 117◦ 63◦ 63◦ a b BÀI 3. Cho hình ABCD [AB k CD]. Tính các góc B và D, biết Ab = 60◦ và Cb = 130◦. LỜI GIẢI. Vì AB k CD nên ta có D = 180◦ − Ab = 120◦ ; B = 180◦ − Cb = 50◦. D C A B 130◦ 60◦ BÀI 4. Trên hình vẽ bên, cho AOB ’ = 100◦ và Ot là tia phân giác của góc AOB ’. Chứng minh rằng Ax k Ot và By k Ot. 50◦ 130◦ B O A y t x LỜI GIẢI. Theo giả thiết AOB ’ = 100◦ nên AOt = tOB = 50◦. Từ đó suy ra: AOt + AOx = 180◦ ⇒ Ax k Ot vì có hai góc trong cùng phía bù nhau. tOB = OBy = 50◦ ⇒ By k Ot vì có hai góc so le trong bằng nhau [cùng bằng 50◦ ]. BÀI 5. Cho hai góc xOy và x’0O0y 0, biết Ox k O0x 0 [cùng chiều] và Oy k O0 y 0 [cùng chiều]. Chứng minh rằng xOy = x’0O0y 0. LỜI GIẢI. Nối O và O0, ta có nhận xét rằng: Vì Ox k O0x 0 nên Ob1 = Oc0 1 do đồng vị. Vì Oy k O0 y 0 nên Ob2 = Oc0 2 do đồng vị. Khi đó: xOy = Ob1 +Ob2 = Oc0 1 +Oc0 2 = x’0O0y 0, điều phải chứng minh. 1 2 1 2 y y 0 x x 0 O O0 Nhận xét. Qua bài tập trên ta ghi nhận một kết quả: Hai góc có cạnh tương ứng song song cùng chiều thì bằng nhau”. BÀI 6. Cho hai góc xOy và x’0O0y 0, biết Ox k O0x 0 [cùng chiều] và Oy k O0 y 0 [ngược chiều]. Chứng minh rằng xOy + x’0O0y 0 = 180◦. LỜI GIẢI. Nối O và O0, ta có nhận xét rằng Vì Ox k O0x 0 nên Ob1 = Oc0 1 do đồng vị. Vì Oy k O0 y 0 nên Ob2 = Oc0 2 do đồng vị. Khi đó: xOy = Ob1 + Ob2 = Oc0 1 + Oc0 2 = 180◦ − x’0O0y 0 ⇔ xOy + x’0O0y 0 = 180◦, điều phải chứng minh. 1 2 2 1 y y 0 x x 0 O O0 BÀI 7. Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a vẽ 100 đường thẳng phân biệt. Chứng minh rằng ít nhất có 99 đường thẳng cắt a. LỜI GIẢI. Giả sử ngược lại, trong số 100 đường thẳng phân biệt kẻ qua A có chưa đến 99 đường thẳng cắt a. Suy ra, còn lại ít nhất hai đường thẳng không cắt a. Vậy hai đường thẳng đó sẽ cùng đi qua A và song song với a, điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ -clít. Vậy ít nhất cũng có 99 đường thẳng cắt a. BÀI 8. Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm A ở trong đó. Một đường thẳng a đi qua A và song song với Ox. Chứng minh rằng a cắt Oy. LỜI GIẢI. Giả sử đường thẳng a đi qua A nhưng không cắt Oy, vì A 6∈ Oy suy ra a k Oy nên Ox k Oy, điều này là vô lí. Vậy đường thẳng a cắt Oy. BÀI 9. Chứng minh rằng nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi hai cát tuyến thì 1 Hai tia phân giác của một cặp góc so le trong song song với nhau. 2 Hai tia phân giác của một cặp góc đồng vị bằng nhau.
3 Hai tia phan giác của một cặp góc trong cùng phía vuông góc với nhau. LỜI GIẢI. Không làm mất tính tổng quát ta coi cát tuyến zz0 cùng cắt hai đường thẳng song song xx0 và yy0 tại A và B [như hình vẽ]. 1 Hai góc so le trong x’0AB và yBA có hai tia phân giác lần lượt là At và Bs. Ta cần chỉ ra rằng At k Bs. Thật vậy Vì xx0 k yy0 nên x’0AB = yBA suy ra tAB = sBA = 1 2 x’0AB. Đường thẳng zz0 cắt hai tia At và Bs và có một cặp góc so le trong tAB = sBA nên At k Bs. 2 Hai góc đồng vị xAz 0 và yBA có hai tia phân giác lần lượt là At0 và Bs. Ta cần chỉ ra rằng At0 k Bs. Thật vậy Vì xx0 k yy0 nên xAz = yBA suy ra z 0At0 = sBA = 1 2 x’0Az0. Đường thẳng zz0 cắt hai tia At0 và Bs và có một cặp góc đồng vị z 0At0 = sBA nên At0 k Bs. 3 Hai góc trong cùng phía x’0AB và y’0BA có hai tia phân giác lần lượt là At và Bs0. Ta cần chỉ ra rằng At ⊥ Bs0. Thật vậy Vì xx0 k yy0 nên x’0AB + y’0BA = 180◦. Gọi C là giao điểm của At và Bs0. Tam giác ABC có CAB ’+ CBA ’ = Ab4 + B 3 = CAB ’+ CBA ’ = 1 2 x’0AB + 1 2 y’0BA = 1 2 x’0AB + y’0BA = 1 2 · 180◦ = 90◦ Suy ra ACB ’ = 180◦ − 90◦ = 90◦ hay At ⊥ Bs0.