Phương pháp chứng minh đẳng thức

phương pháp quy nạp toán học

Nhựt Hoàng sinh năm 1995 tại Nam Định trong một gia đình giáo viên nên được truyền thụ tình yêu với toán từ khi còn bé. Tự nhận thấy bản thân có một chút năng khiếu về toán nên mình quyết định xem toán học là niềm đam mê và theo đuổi lâu dài. Mình lập website này mong muốn chia sẻ tới mọi người niềm đam mê, tình yêu toán học, một trong những môn khoa học vĩ đại nhất từ xưa tới nay.

• Công Thức Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị HOÁN VỊ Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Các Nguyên Tắc Về Phép Đếm PHÉP ĐẾM 1. NGUYÊN TẮC ĐẾM Có 2 biến cố

• Khối cầu là một hình dạng vật thể phổ biến trong đời sống: quả bóng chuyền, quả cầu pha lê, Trái Đất… Do đó, bạn cần phải biết cách tính Thể

• Thể tích hình hộp chữ nhật được xác định dễ dàng khi bạn biết chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp. Các bạn đã biết đến công thức tính

• Hình trụ là gì? Cách tính thể tích hình trụ như thế nào? Những bài tập áp dụng công thức tính thể tích hình trụ sẽ được trình bày trong bài viết sau

• Bảng đạo hàm, công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao: các công thức tính đạo hàm, công thức đạo hàm lượng giác, công thức đạo hàm hàm số đa

• Chu vi hình tròn là gì? Công thức tính chu vi hình tròn, bài tập về cách tính chu vi hình tròn. Chu vi hình tròn Chu vi hình tròn là độ dài đường tròn hay còn gọi

Thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học.

Tài liệu bao gồm các nội dung sau: LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng  3. Đường trung bình 4. Định lý Talet 5. Tính chất đường phân giác của tam giác 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

 PHẦN BÀI TẬP

Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức hình học. Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé!

Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập!

Tài liệu

Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: //bit.ly/3g8i4Dt.

THEO THUVIENTOAN.NET

Chú ý: Do tài liệu trên web đều là sưu tầm từ nhiều nhiều nguồn khác nhau nên không tránh khỏi việc đăng tải nhiều tài liệu mà tác giả không muốn chia sẻ nhưng mình không biết, những ai có tài liệu trên web như vậy thì liên hệ với mình để mình gỡ xuống nhé!

Thầy cô nào có tài liệu tự làm muốn có thêm chút thu nhập nhỏ và chia sẻ tài liệu mình đến mọi người thì liên hệ mình để đưa tài liệu lên tài liệu tính phí, thầy cô nào có thể làm các khóa học về môn toán thì liên hệ với mình để làm các khóa học đưa lên web ạ!

Điện thoại: 039.373.2038 [zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ]

Kênh Youtube: //bitly.com.vn/7tq8dm

Email:

Group Tài liệu toán đặc sắc: //bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: //bit.ly/2VbEOwC

Website: //tailieumontoan.com

Cách chứng minh đẳng thức véctơ – Toán lớp 10

Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ cho các em cách chứng minh đẳng thức véctơ, một dạng Toán thuộc chương 1, Hình học 10, Toán lớp 10.

Để làm được dạng bài tập này đòi hỏi các em phải nắm được lý thuyết, các quy tắc. Biết sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số, tích vô hướng. Và sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …

Phương pháp chứng minh đẳng thức vectơ

1] Sử dụng:

+ Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}$ với mọi $A, B, C$.

+ Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$ với $ABCD$ là hình bình hành.

+ Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}$ với $I$ là trung điểm của $A B$.

+ Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$ với $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.

+ Các tính chất của các phép toán.

2] Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:

+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức [thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn].

+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.

+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

– Chú ý: $\Delta A B C$ và $\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cùng trong tâm khi và chi $\mathrm{khi} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$

Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ có lời giải:

Bài toán 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a] $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$

b] $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}$

Cách 1: Biến đổi vế trái [VT] ta có:
$V T=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=[\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}]+[\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}] \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D} \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{0}$
$=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=V P$

Nhận xét Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi bién đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là $\overrightarrow{A B}$ nhưng vế phải có chứa $\overrightarrow{A D}$ nên ta viết $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}$

Cách 2: Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}[1] \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}[2]$

Ta có [2] luôn đúng vậy [1] được chứng minh.

Cách 3: Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B C}$

Do đó: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$

b] Ta có:

$VT=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=[\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}]-[\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}]=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}=VP$

Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.

Bài toán 2 : Cho tam giác $A B C$ và $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.
a] Chứng minh rằng: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}$
b] Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0$
$\begin{array}{llll}\text { a] } & \text { Ta } & \text { có: } & \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C} & =[\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A}]+[\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B}]+[\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C}]\end{array}$
$=3 \overrightarrow{M G}+[\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}]=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{M G}$
b] $\mathrm{Vi} \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$
$3 \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ do do $M \equiv G$
Suy ra tập hợp $M$ thỏa mắn $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\vec{O}$ là $\{G\}$.

Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ tự giải:

Bài 1. Cho tứ diện $ ABCD$. Gọi $ M$ và $ N$ lần lượt là trung điểm $ AB$ và $ CD.$ Chứng minh:

a] $ \displaystyle 2\overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{BD}}$

b] Điểm $ G$ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD$ khi và chỉ khi $ \displaystyle \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{0}$

Bài 2. Cho tứ diện $ ABCD$ với $ G$ là trọng tâm.

a] Chứng minh $ \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{AD}}=4\overrightarrow{{AG}}$

b] Gọi $ {A}’$ là trọng tâm tam giác $ BCD$. Chứng minh: $\overrightarrow{{{A}’B}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’C}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’D}}.\overrightarrow{{A{A}’}}=\vec{0}$

Bài 3. Cho hình hộp $ ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $ {{D}_{1}}$, $ {{D}_{2}}$, $ {{D}_{3}}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $ {D}’$ qua $ A$ , $ {B}’$, $ C$. Chứng tỏ rằng $ B$ là trọng tâm của tứ diện $ {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}{D}’.$

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ lần lươt là điềm đói xúng của điêm D’ qua
$A, B^{\prime}, C .$ Chúng tò rằng $B$ là trọng tâm của tứ diện $D_{1} D_{2} D_{3} D^{\prime}$

Bài 4. Cho hình chóp $ S.ABCD$.

Chứng minh rằng nếu $ ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}=\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SC}}+\overrightarrow{{SD}}=4\overrightarrow{{SO}}$

• Đề cương ôn tập HK2 môn Toán lớp 10

• 244 câu trắc nghiệm Đại số lớp 10 chương 3 có lời giải

• Chuyên đề Hàm số lượng giác – Toán lớp 10

• Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy lớp 10

• Bài tập trắc nghiệm Số gần đúng và Sai số – Đại số 10

• Bài tập trắc nghiệm Mệnh đề và suy luận toán học – Đại số 10

• Ôn tập học kì 1 Toán 10: Đại số và Hình học