Phương pháp áp dụng
Việc sử dụng dấu nhị thức bậc nhất để giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng. Với các phương trình, bất phương trình dạng: P[x] = 0, P[x] > 0, P[x] < 0, P[x] ≥ 0, P[x] ≤ 0,
trong đó P[x] = k$_1$|A$_1$| + k$_2$|A$_2$| + .. . + k$_n$|A$_n$| và dấu của các A$_i$, i = $\overline {1,n} $ được xác định thông qua dấu của những nhị thức bậc nhất, ta thực hiện theo các bước:
Thí dụ 1. Giải các bất phương trình: a. |2x - 5| ≤ x + 1. b. |2x - 4| ≥ x + 1.a. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - [x + 1] \le 2x - 5 \le x + 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\frac{4}{3} \le x \le 6\end{array} \right.$⇔ $\frac{4}{3}$ ≤ x ≤ 6. Vậy, bất phương trình có nghiệm $\frac{4}{3}$ ≤ x ≤ 6. b. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 4 \ge x + 1\\2x - 4 \le - x - 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 1\end{array} \right.$. Vậy, bất phương trình có nghiệm thuộc [-∞; 1]∪[5; +∞].
Nhận xét: Như vậy:
- Dạng 1: Với bất phương trình: |f[x]| > g[x] ⇔ $\left[ \begin{array}{l}f[x] > g[x]\\f[x] < - g[x]\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}g[x] < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g[x] \ge 0\\{f^2}[x] > {g^2}[x]\end{array} \right.\end{array} \right.$[chia khoảng].
- Dạng 2: Với bất phương trình: |f[x]| < g[x] ⇔$\left\{ \begin{array}{l}g[x] > 0\\{f^2}[x] < {g^2}[x]\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}g[x] > 0\\ - g[x] < f[x] < g[x]\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f[x] \ge 0\\f[x] < g[x]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f[x] < 0\\ - f[x] < g[x]\end{array} \right.\end{array} \right.$[chia khoảng].
b. Điều kiện: |x - 4| - 1 ≠ 0 ⇔ |x - 4| ≠ 1 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ne 1\\x - 4 \ne - 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne 3\end{array} \right.$.
Lập bảng xét dấu hai biểu thức x + 3 và x - 4:
- Trường hợp 1: Với x ≤ - 3, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = - x - 3 ⇔ $\frac{3}{{3 - x}}$ = - x - 3 ⇔ x2 = 12 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \,\,[l]\\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$.
- Trường hợp 2: Với -3 < x < 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = x + 3 ⇔ $\frac{3}{{3 - x}}$ = x + 3 ⇔ x2 = 6 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.$.
- Trường hợp 3: Với x ≥ 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{x - 4 - 1}}$ = x + 3 ⇔ x2 - 2x - 18 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt {19} \,\,[l]\\x = 1 + \sqrt {19} \end{array} \right.$.
Chú ý: Nhiều bài toán dựa trên điều kiện có nghĩa của phương trình ta khử được dấu trị tuyệt đối. Xét ví dụ sau:
Thí dụ 3. Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} - |x|} $ < x. [1]
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - |x| < {x^2}\end{array} \right.$ ⇔ x > 0. Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 0.
Thí dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình |2x - 1| ≥ x + m.
Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 1 \ge x + m\\2x - 1 \le - [x + m]\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge m + 1\\x \le \frac{{1 - m}}{3}\end{array} \right.$.
- Trường hợp 1: Nếu m + 1 ≤ $\frac{{1 - m}}{3}$ ⇔ m ≤ –$\frac{1}{2}$. Bất phương trình có nghiệm là $S = \mathbb{R}$.
- Trường hợp 2: Nếu m + 1 > $\frac{{1 - m}}{3}$ ⇔ m > –$\frac{1}{2}$
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
3. Tính chất của giá trị tuyệt đối
Tiếp theo, hãy cùng tìm hiểu đến những tính chất cần biết của dấu giá trị tuyệt đối nhé.
- Giá trị tuyệt đối tại tất cả mọi số đều sẽ không âm.
- Hai số có giá trị bằng nhau hoặc 2 số đối với nhau trên trục số sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Tương tự, hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì sẽ là 2 số bằng nhau hoặc là 2 số đối nhau trên trục số.
- Mọi số đều sẽ có giá trị lớn hơn hoặc bằng với số đối của giá trị tuyệt đối của bản thân số đó, đồng thời sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với giá trị tuyệt đối của số đó.
- Trong 2 số âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn sẽ là số lớn hơn. Ngược lại, trong 2 số dương, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn sẽ là số nhỏ hơn.
- Giá trị tuyệt đối của thương sẽ là thương của 2 giá trị tuyệt đối. Tương tự, giá trị tuyệt đối của một tích sẽ bằng tích của 2 giá trị tuyệt đối.
- Bình phương của một giá trị tuyệt đối bằng với bình phương của chính số đó.
- Tổng của 2 giá trị tuyệt đối sẽ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng với giá trị tuyệt đối của tổng 2 số đó.
II. Dạng cơ bản và phương pháp giải
Phương pháp 2: Phương pháp lập bảng
Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc 2 để khử trị tuyệt đối.
Phương pháp 3: Biến đổi tương đương
3. Phương pháp áp dụng
III. Ví dụ bài tập
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình:a. |2x - 5| ≤ x + 1.
b. |2x - 4| ≥ x + 1.
Giải
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 0.
Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình |2x - 1| ≥ x + m.
Giải