Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHHình 4.1: Ý nghĩa hình học của nghiệmTrước khi vẽ đồ thị ta cũng có thể thay phương trình [4.1] bằng phương trìnhtương đươngg[x] = h[x][4.4]rồi vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độy = g[x]vày = h[x][4.5]Giả sử hai đồ thị ấy cắt nhau tại điểm M có hoành độ α thì ta cóg[α] = f [α]Hình 4.2: Giao của hai đồ thịVậy hoành độ α của giao điểm M của hai đồ thị [4.5] chính là 1 nghiệm của[4.4] cũng tức là của phương trình [4.1].Trước khi tìm cách tìm gần đúng nghiệm của phương trình [4.1] ta tự hỏi nghiệm782. Giải gần đúng các phương trìnhthực ấy có tồn tại hay không. ta có thể dùng phương pháp đồ thị, hoặc bằng Địnhlý sauĐịnh lý 4.2.3 Nếu có hai số thực a và b với a < b sao cho f [a] và f [b] trái dấutức làf [a] f [b] < 0[4.6]đồng thời f [x] liên tục trên [a, b] thì ở trong khoảng [a, b] có ít nhất một nghiệmthực của phương trình [4.1].hHình 4.3: Hình minh họa định lý [4.2.3]Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó, nhưng đôi khi tachỉ cần tìm gần đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng nào đó.Định nghĩa 4.2.4 Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phươngtrình [4.1] nếu chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.Trong thực hành tính toán thì khoảng phân ly này càng nhỏ càng tốt. Khoảngphân ly nhỏ thì việc tìm nghiệm gần đúng sẽ cho độ chình xác cao và rút gọnđược quá trình tính toán. Trong hình 4.3 phương trình f [x] = 0 có hai khoảngphân ly nghiệm là [a, c] và [c, b].Định lý 4.2.5 Nếu [a, b] là một khoảng đóng trong đó hàm f [x] liên tục, đạohàm f ′ [x] không đổi dấu, không bằng 0 trên một khoảng và f [a], f [b] trái dấuthì [a, b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình [4.1].hMuốn tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình [4.1] người ta khảo sáthàm số y = f [x] rồi áp dụng Định lý 4.2.5.79Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHVí dụ 4.2.6 Cho phương trìnhf [x] = x3 − x − 1 = 0[4.7]Hãy chứng tỏ phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm.Giải Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f [x]. Nó xác định và liên tục tạimọi x đồng thờif ′ [x] = 3x2 − 1 = 0và1x = ±√3Ta suy ra bảng biến thiênx −∞f ′ [x]f [x]√33√− 33+−∞0√3−1 + 29−0√3−1 − 29+∞++∞√√33Ta có f −·f< 0. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất,33do đó phương trình 4.7 có 1 nghiệm thực duy nhất, kí hiệu là α. Ta tính thêm∙ f [1] = 13 − 1 − 1 < 0∙ f [2] = 23 − 2 − 1 > 0802. Giải gần đúng các phương trìnhVậy khoảng [1, 2] chứa nghiệm của phương trình [4.7]. Nhưng vì phương trìnhnày chỉ có 1 nghiệm nên chính nghiệm ấy phân ly trong [1, 2].Tóm lại, phương trình [4.7] có 1 nghiệm thực duy nhất α, phân ly trong khoảng[1, 2].g2.22.2.1Phương pháp chia đôiMô tả phương phápXét phương trình f [x] = 0 với giả thiết nó có nghiệm thực là α đã phân lytrong khoảng [a, b]. Lấy x ∈ [a, b] làm giá trị gần đúng cho α thì sai số tuyệtđối |x − α| ≤ b − a. Để có sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân lynghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân ly nghiệm đã tìm ra.a+b∙ Trước hết ta chia đôi đoạn [a, b], điểm chia là c =. Ta tính f [c]. Nếu2f [c] = 0 thì c chính là nghiệm của đúng α. Thường thì f [c] ̸= 0. Khi ấykhoảng phân ly nghiệm mới là [a, c] hoặc [c, b].∙ Để xác định khoảng phân ly mới ta tính f [c] và so sánh dấu của f [c] vớif [a]– Nếu f [c] trái dấu f [a] thì khoảng phân ly mới là [a, c].– Nếu f [c] cùng dấu f [a] thì khoảng phân ly mới là [c, b].Như vậy sau khi chia đôi đoạn [a, b] ta được khoảng phân ly mới thu nhỏ là[a, c] hay [c, b], ký hiệu [a1 , b1 ]. Đoạn [a1 , b1 ] nằm trong đoạn [a, b] và chỉdài bằng nửa [a, b] tức làb−ab1 − a1 =2a1 + b1không là nghiệm∙ Tiếp tục chia đôi đoạn [a1 , b1 ] và làm như trên. Nếu2đúng α, ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ mới, ký hiệu là [a2 , b2 ],nó nằm trong [a1 , b1 ] tức là trong [a, b] và chỉ dài bằng nửa đoạn [a1 , b1 ]b2 − a2 =b1 − a1 b − a= 222∙ Lặp lạiviệc làm trên đến lần thứ n mà ta vẫn không thu được nghiệm đúngα thì ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ thứ n, ký hiệu [an , bn ], nó1nằm trong [a, b] và dài bằng n của [a, b]2b−abn − an = nvà α ∈ [an , bn ]281Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHCó thể lấy an làm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là|α − an | ≤ bn − an =b−a2nCũng có thể lấy bn làm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là|α − bn | ≤ bn − an =Cũng có thể lấyb−a2nan + bnlàm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là2α−an + bnb−a≤ bn − an = n+122Do đó với n đủ lớn, an hay bn đều đủ gần α. Khi n → ∞ thì an → α và bn α. Nênta nói phương pháp chia đôi hội tụ.Ví dụ 4.2.7 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 − x − 1 = 0 trong khoảngphân ly nghiệm [1, 2].Giải Ta có: f [1] = −1 < 0, f [2] = 5 > 03Ta chia đôi đoạn [1, 2] với điểm chia là 2 . Ta có: f [ 3 ] = 7 trái dấu f [1]. Vậy283α ∈ 1, 2 .19Ta chia đôi đoạn 1, 3 , điểm chia là 5 . Ta có f [ 5 ] = − 64 < 0 cùng dấu f [1].244Vậy α ∈ 5 , 3 .4 2Ta chia đôi đoạn 5 , 3 , điểm chia là 11 . Ta có f [ 11 ] = − 115 < 0 cùng dấu f [ 5 ].4 2885124Vậy α ∈ 5 , 11 .4 8212115Ta chia đôi đoạn 4 , 11 , điểm chia là 21 . Ta có f [ 16 ] = − 4096 < 0 cùng dấu8165f [ 4 ]. Vậy α ∈ 21 , 11 .16 82121Ta chia đôi đoạn 16 , 11 , điểm chia là 43 . Ta có f [ 43 ] > 0 cùng dấu f [ 16 ]. Vậy83232α ∈ 21 , 43 .16 3221Ta dừng quá trình chia đôi tại đây và lấy 16 = 1.3125 hay 43 = 1.34375 làm giá3211trị gần đúng của α thì sai số không vượt quá 25 = 32 = 0.03125. Nếu ta lấy8564 = 1.328125 làm giá trị gần đúng của α thì sai số không vượt quá164 = 0.015625.82

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. Bài tập lớn: các bài toán giải phương trình
2. MỤC LỤC Bài tập lớn: các bài toán giải phương trình...........................................................1 MỤC LỤC...............................................................................................................2 Bài tập lớn Bài 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm thực của các phương trình. 1] x2 – 4x – 1= 0 2] log10x – 3x +5 = 0 4] x3 – 9x2 + 18x -10 = 0 3] x – cosx = 0 Lời giải : f [x] = x2 – 4x – 1 1] f’[x] = 4x3 - 4 f’[x] = 0 => x3 = 1 => x = 1 Bảng biến thiên: X -∞ 1 +∞
3. f [x] -∞ 0 +∞ f [x] -4 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm 1[ -1 ; 0 ] f [0] = - 1 < 0 f [-1] = 4 > 0 f [1] = - 4 < 0 Khoảng phân ly nghiệm 2 [ 1 ; 2 ] f [2] = 7 > Vậy nghiệm thực của phương trình là: [ -1 ; 0 ] và [ 1 ; 2 ]. 2] log10x – 3x +5 = 0 y log10x = 3x +5 Đặt: y1 = log10x y2 = 3x +5 1 0 x   -1 1 2 -1 -2 Từ đồ thị ta có: Khoảng phân ly nghiệm [ 1 ; 2 ] f [1] = 2 > 0 f [2] = - 0.7 < 0 3] x – cosx = 0 y Đặt: y1 = x y2 = cosx  . 0  x      Từ đồ thị ta có:
4. Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ;1 ] f[0] = 0.46 > 0 f[1] = - 1 < 0 4] x3 – 9x2 + 18x -10 = 0 f [x] = x3 – 9x2 + 18x -10 f’[x] = 3 x2 – 18x -18 f’[x] = 0 => x1= 4.73 x2 = 1.26 Bảng biến thiên: X 1.26 4.73 +∞ f [x] 0 0 +∞ f [x] -∞ 0.39 -20.39 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm 1[-1;1,27 ] f [-1] = -38 0 Khoảng phân ly nghiệm 2 [ 1,27; 4,73] f [1,27] = 0,3922 > 0 f [4,73] = -20,39 < 0 Khoảng phân ly nghiệm 3 [ 4,73; 7] f [4,73] = - 20,39 < 0 f [7] = 18 > 0 Vậy nghiệm thực của phương trình là: [-1;1,27 ] ; [ 1,27; 4,73]; [ 4,73; 7] Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của x3 + 3x2 - 3 = 0 với độ chính xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm [-3 ; -2]. Lời giải : Ta có: f [x] = x3 + 3x2 - 3 f’ [x] = 3 x2 +6x f’[x] = 0 => x1 = 0 x2 = -2 Bảng biến thiên: X -2 0 +∞ f [x] 0 0 +∞ f [x] -∞ 1 -3 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2] f [-3] = - 3 < 0 f [-2] = 1 > 0
5. Áp dụng phương pháp chia đôi ta có: [−3] + [−2] a+b 2 C1 = 2 = = -2.5 => F1[C1] = 0.125 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ] [−3] + [−2.5] 2 C2 = = -2.75 => F2[C2] = -1.109 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ] [−2.75] + [−2.5] 2 C3 = = -2.625 => F3[C3] = - 0.416 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ] [−2.625] + [−2.5] 2 C4 = = -2.5625 => F4[C4] = - 0.127 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ] [−2.5625] + [−2.5] 2 C5 = = -2.53125 => F5[C5] = 0.004 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ] C6 = -2.546875 => F6[C6] = - 0.061 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ] C7 = -2.5390625=> F7[C7] = - 0.029 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ] C8 = -2.53515=> F8[C8] = - 0.012 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ] C9 = -2.537106=> F9[C9] = - 0.020 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ] C10 = -2.538084=> F10[C10] = - 0.024 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ] ξ = - 2.538084 Ta lấy nghiệm gần đúng: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 – Đánh giá sai số: | = 9,785.10 -3 -4 [-2.538084] < 10
6. Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-3 a] x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5] 1 = x +1 b] x Lời giải : , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5] a] x3 + 3x2 – 3 = 0 x3 = 3 - 3x2 [3 - 3x2 ]1/3 nên ta chọn hàm lặp ω[x] = [3 - 3x2 ]1/3 | f ’ [x] | ≤ 0.045< 1 Ta nhận thấy Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] Do f [- 2.5] < 0 nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5 Ta có quá trình lặp . 1 1 1 Đặt ω[x] = [3 - 3x ] ω[x] = ’ . 1/3 -2/3 = 2 3 [3 – 3x] [3 − 3x 2 ] 2 3 3 Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] . Vì α 1 xo = - 2.5 ; q = € [ -2.75; -2.5] 3 1 ω[x] | ω ’ ∀ x € [ -2.75; -2.5]; ’[x] < 0 ∀ x € [ -2.75; -2.5] ta có: | ≤ 3 xn + 1 = [3 - 3x2 ]1/3 xo = - 2.5 x1 = [3 – 3.[-2.5]2 ]1/3 = -2.5066 x2 = [3 – 3.[ x1]2 ]1/3 = -2.5119 x3 = [3 – 3.[ x2]2 ]1/3 = -2.5161 x4 = [3 – 3.[ x3]2 ]1/3 = -2.5194 x5 = [3 – 3.[ x4]2 ]1/3 = -2.5221 x6 = [3 – 3.[ x5]2 ]1/3 = -2.5242 x7 = [3 – 3.[ x6]2 ]1/3 = -2.5259 x8 = [3 – 3.[ x7]2 ]1/3 = -2.5272
7. x9 = [3 – 3.[ x8]2 ]1/3 = -2.5282 x10= [3 – 3.[ x9]2 ]1/3 = -2.590 x11 = [3 – 3.[ x10]2 ]1/3 = -2.5296 x12 = [3 – 3.[ x11]2 ]1/3 = -2.5301 ξ = - 2.5301 Ta lấy nghiệm gần đúng: q |α -x | = 1− q | x12 - x11 | = 2.5.10 - 4 < 10-3 Đánh giá sai số: 12 1 x +1 = b] x 1 x +1 - Đặt f[x] = x Từ đồ thị ta có : f [0.7] = - 0.12473 < 0 f [0.8] = 0.09164 > 0  f [0.7] . f [0.8] < 0 . Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm là [ 0.7; 0.8] Ta có: 1 = [x + 1 ] - 1/2 x = x +1 1 1 1 Đặt ω[x] = [x + 1 ] ω[x] = ’ 2. - 1/2 - 3/2 - 2 [x + 1] =- [ x + 1]3 nên ta chọn hàm lặp ω[x] = [x + 1 ] - 1/2 | f ’ [x] | ≤ 0.4141< 1 Ta nhận thấy Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ 0.7; 0.8] Do f [0.7] < 0 nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7. Ta có quá trình lặp . Vì α € [ 0.7; 0.8] q = 0.4141 1 ω[x] | ∀ x € [ 0.7; 0.8] ; ω[x] < 0 ∀ x € [ 0.7; 0.8] ’ ’ ta có: | ≤ 2 xn + 1 = [x + 1 ] -1/2 xo = 0.7 x1 = [0.7 + 1 ] -1/2 = 0.766964988 x2 = [x1+ 1 ] -1/2 = 0.75229128
8. x3 = [x2+ 1 ] -1/2 = 0.755434561 x4 = [x3+ 1 ] -1/2 = 0.754757917 ξ = 0.754757917 Ta lấy nghiệm gần đúng: q |α -x| = 1− q | x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10-3 Đánh giá sai số: 4 Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ -2 chính xác 10 a] x3 + 3x2 + 5 = 0 b] x4 – 3x + 1 = 0 Lời giải : a] x3 + 3x2 + 5 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: f [x] = x3 + 3x2 + 5 x3 = 5 - 3x2 Đặt y1 = x3 y2 = 5 - 3x2 y -2  0 1 x -1 -2 Từ đồ thị ta có: f [-2 ] = - 9 < 0
9. Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ] f [-1 ] = 1 > 0 Vì f [-2 ] . f [-1 ] < 0 * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f [-2 ] = - 9 < 0 => chọn xo = -2 f [ x0 ].[b − a ] x1 = xo – f [b] − f [a] = -1.1 f [x1] = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ] f [ x1 ].[b − a] x2 = x1 – f [b] − f [a] = -1.14 f [x2] = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ] f [ x 2 ].[b − a ] x3 = x2 – f [b] − f [a] = -1.149 f [x3] = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ] x4 = -1.152 => f [x4] = 0.015> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ] x5 = -1.1534 => f [x5] = 0.0054 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ] x6 = -1.1539 => f [x6] = -1.1539 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1539 ]. ξ = - 1.53 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x6 | ≤ | f [ x] | với m là số dương : 0 < m ≤ f’[x] Đánh giá sai số: m | ξ - x6 | ≤ ∀ x € [-2 ;-1] 1.36 .10 -3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến [ Niwtơn] ta có: f ’[-2] = 19 > 0 f ’’[-2] = -12 < 0 => f ’[-2] . f ’’[-2] < 0 nên ta chọn x0 = -2 x0 = -2 ta có: Với
10. f [ x0 ] x1 = x0 - f ' [ x ] = -1.4 0 f [ x1 ] x2 = x1 - f ' [ x ] = -1.181081081 1 f [ x2 ] x3 = x2 - f ' [ x ] = -1.154525889 2 f [ x3 ] x4 = x3 - f ' [ x ] = -1.15417557 3 ξ = - 1.154 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f [ x] | với m là số dương : | f’[x] | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀ x € [-2 ;-1] 1.99 .10 - 4 < 10 -2 b] x4 – 3x + 1 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm : f [x] = x4 – 3x + 1 3 3 f’[x] = 4x3 - 3 f’[x] = 0 => => x = = 0.75 3 4 Bảng biến thiên: 3 X -∞ +∞ 0.75 f [x] -∞ 0 +∞ f [x] - 1.044 Ta có : f [0] = 1 > 0 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 1 ] ; [ 1; 2 ] f [1] = -1< 0 f [2] = 11> 0 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: xo Do f [1 ] = - 1 < 0 => chọn =1 f [ x0 ].[b − a ] x1 = xo – = 0.5 f [b] − f [a ]
11. f [x1] = - 0.4375 Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ] f [ x1 ].[b − a] x2 = x1 – = 0.3478 f [b] − f [a ] f [x2] = - 0.0288 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3478] f [ x 2 ].[b − a ] x3 = x2 – = 0.3380 f [b] − f [a ] f [x3] = - 0.00095 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3380] x4 = 0.3376 => f [x4] = 0.0019 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380] ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f [ x] | với m là số dương : 0 < m ≤ f’[x] Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀x € 1.9.10 - 4 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến [ Niwtơn] trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: f ’[1] = 1 > 0 f ’’[1] = 12 > 0 => f ’[1] . f ’’[1] > 0 nên ta chọn x0 = 0 x0 = 0 ta có: Với f [ x0 ] x1 = x0 - f ' [ x ] = 0.3333 0 f [ x1 ] x2 = x1 - f ' [ x ] = 0.33766 1 f [ x2 ] x3 = x2 - f ' [ x ] = 0.33766 2 ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x3| ≤ | f [ x] | với m là số dương : | f’[x] | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m
12. | ξ - x3| ≤ ∀x € [ 0 ; 1 ] 6 .10 - 5 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: xo Do f [1 ] = - 1 < 0 => chọn =1 f [ x0 ].[b − a ] x1 = xo – f [b] − f [a] = 1.083 f [x1] = - 0.873 Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2] f [ x1 ].[b − a] x2 = x1 – f [b] − f [a] = 1.150 f [x2] = - 0.7 Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2] f [ x 2 ].[b − a ] x3 = x2 – f [b] − f [a] = 1.2 f [x3] = - 0.526< 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2] x4 = 1.237 => f [x4] = -0.369 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2] x5 = 1.2618 => f [x5] = -0.25 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2] x6 = 1.2782 => f [x6] = - 0.165 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2] x7 = 1.2889 => f [x7] = - 0.1069 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2] x8 = 1.2957 => f [x8] = - 0.068 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2] x9= 1.3000 => f [x9] = - 0.0439 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2] x10= 1.3028 => f [x10] = - 0.027 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2] ξ = 1.30 Ta chọn nghiệm gần đúng
13. | ξ - x10 | ≤ | f [ x] | với m là số dương : 0 < m ≤ f’[x] Đánh giá sai số: m | ξ - x10 | ≤ ∀x € -2.8.10 - 3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến [ Niwtơn] trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: f ’[1] = 1 > 0 f ’’[1] = 12 > 0 => f ’[1] . f ’’[1] > 0 nên ta chọn x0 =2 x0 = 0 ta có: Với f [ x0 ] x1 = x0 - f ' [ x ] = 1.6206896 0 f [ x1 ] x2 = x1 - f ' [ x ] = 1.404181 1 f [ x2 ] x3 = x2 - f ' [ x ] = 1.320566 2 f [ x3 ] x4 = x3 - f ' [ x ] = 1.307772 3 f [ x4 ] x5 = x4 - f ' [ x ] = 1.307486 4 ξ = 1.30 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x5| ≤ | f [ x] | với m là số dương : | f’[x] | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m | ξ - x5| ≤ ∀ x € [ 1; 2 ] -7.486.10 - 3< 10 -2
14. ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f [ x] | với m là số dương : 0 < m ≤ f’[x] Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀x € 1.9.10 - 4 < 10 -2 Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 x − 4 x = 0 [1] bằng phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác 10−5 Bài giải: B1:tìm khoảng phân ly y1 = 2 x Ta tách phương trình [1]thành y2 = 4 x Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là : [ 0;0,5] vì f[o ] > 0 vậy f [ o ] f [0,5] < 0 f [0,5] < 0 B2: tìm nghiệm của phương trình f , f ,, < 0 nên ta chọn x0 = a = 0 f , < 0; f ,, > 0 f [ x0 ] 1 x1 = x0 − = 0− = 0,3024 −3,30685 , f [ x0 ] 0, 02359 x2 = 0,3024 − = 0,3099 −3,14521 0, 00002 x3 = 0,3099 − = 0,30991 −3,14076 0, 00001 x4 = 0,30991 − = 0,30991 −3,14075 Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991 [Chú ý: Tính dến 6 chữ số thập phân] Bài tập 6: Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy: a.
15. � ,5 −0,1 0,1 � 1 �, 4 � 0 � � �� A = � 0,1 1,5 −0,1 � − b=� � 0,8 � 0,3 0, 2 −0,5 � � 2� − 0, � � �� x �, 4 � 0 �1 � �� �� x = �2 � B=� � x 0,8 � 2� �� 0, x �� �3 � Bài giải: Lập bảng gauss : aij Quá ai1 ai2 ai3 ai4 trình [cột kiểm tra] Thuận 1,5 -0,2 0,1 0,4 0,1 1,5 -0,1 0,8 -0,3 0,2 -0,5 0,2 1 -0,13333 0,06667 0,26667 0 1,48667 0,09333 0,82667 0 1,6 -0,48 0,28 1 0,06278 0,55605 1 -1,48448 -0,33326 1 0,22449 1 0,54196 1 0,32397 Vậy nghiệm của phương trình là : [0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 ] b] � , 6 −4,5 −2, 0 � 2 �9, 07 � 1 � � � � A = � 0 3, 0 b = � 21 � 3, 4,3 � 3, � 6, 0 3,5 3, 0 � � 18, 25 � − − � � � � x �9, 07 � 1 �1 � �� � � x = �2 � B = � 21 � x 3, � 18, 25 � �� − x � � �3 � Bài giải: Lập bảng gauss : aij Quá ai1 ai2 ai3 ai4 trình [cột kiểm tra]
16. 2,6 -4,5 -2,0 19,07 Thuận 3 3 4,3 3,21 -6 3,5 3 -18,25 1 -1,73077 -0,76923 7,33462 8,9231 6,60769 -18,79386 -6,88462 -1,61538 25,75772 1 0,80657 -2,29409 3,93754 9,96378 1 2,53045 1 -4,33508 1,77810 1 Bài 7: Giải hệ phương trình: − 8 x + y + z  x _ 5 y + z [I] x + y − 4z = 7  Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x[a]=g và đánh giá sai số của x3 Giải: Từ phương trình [I]  x = y.1 / 8 + z.1 / 8 − 1 / 8  x = 0,125 y + 0,125 z − 0,125    y = x.1 / 5 + z.1 / 5 − 16 / 5   y = 0,2 x + 0,2 z − 3,2  z = x.1 / 4 + y.1 / 4 − 7 / 4  z = 0,25 x + 0,25 y − 1,75    − 0,125   0 0,125 0,125      g =  − 3,2  => B=  0,2 0 0,2  ;  0,25 0,25 0   − 1,75      r1 = 0,25  3 ∑b => r2 = 0,4 Ta xet r = maxi ij r = 0,5 j =1 3 3 ∑b  r = maxi =0,5
17. Đánh giá sai số x[3] x[3]- x[2] = max [0,067304687;0,07984375;0,110195375] Áp dụng công thức [3.36] SGK ta có 0,5 ≤ 1 − 0,5 .0,110195375 = 0,110195375 x[3] - 2 Vậy ta có nghiệm của phương trình là: X= -0,961835937 ± 0,110195375 Y= -3,94484337 ± 0,110195375 Z= -2,939882875 ± 0,110195375 Bâi 8 : Giải hệ phương trình 24, 21x1 + 2, 42 x2 + 3,85 x3 = 30, 24 2,31x1 + 31, 49 x2 + 1,52 x3 = 40,95 3, 49 x1 + 4,85 x2 + 28, 72 x3 = 42,81 x1 = 1, 24907 − 0, 09995 x2 − 0,15902 x3 x2 = 1,30041 − 0, 07335 x1 − 0, 04826 x3 x3 = 1, 49059 − 0,1215 x1 − 0,1689 x2 −0, 09995 −0,15902 � � 24907 � x �1 � � 0 1, � �� �� � = �2 � � 0, 07335 x =− −0, 04826 � � + 1,30041 � f[ x] 0 � � � 0,12151 −0,16887 � � 49059 � − 0 1, x �3 � � �� � Ta có: r1 = 0, 25897 < 1 r2 = 0,12171 < 1 pt hội tụ r3 = 0, 29038 < 1 Lập bảng: x1 x2 x3 0 -0,09995 -0,15902 B -0,07335 0 -0,04826 -0,12151 -0,16887 0 1,24907 1,30041 1,49059 x0 0,98201 1,13685 1,11921 x1 0,95747 1,17437 1,17928 x2 0,94416 1,17326 1,17773 x3 0,94452 1,17431 1,17774 x4 0,94441 1,17429 1,17751 x5 0,94452 1,17431 1,17753 x6 0,94444 1,17429 1,17751 x7
18. Nghiệm bằng: [0,94444; 1,17429; 1,17751] Bài 9 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f[x] cho dưới dạng bảng X 0 2 3 5 Y 1 3 2 5 Giải: ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng P3[x]= yo + lo [x] + y1L1[x] + y2 l2[x] + y3 l3[x] [ x − 2][ x − 3][ x − 5] [ x − 0][ x − 3][ x − 5] [ x − 0][ x − 2][ x − 5]  p3[x]= [0 − 2][0 − 3][0 − 5] +3. [2 − 0][2 − 3][2 − 5] +2. [3 − 0][3 − 2][3 − 5] + 5. [ x − 0][ x − 2][ x − 3] [5 − 0][5 − 2][5 − 3] x3 − 10 x 2 + 31x − 30 x3 − 8 x 2 + 15 x x3 − 5 x 2 + 6 x  p3[x] = + + − 30 6 30 9 x3 − 65 x 2 + 124 x + 30  p3[x] = 30 9 x3 − 65 x 2 + 124 x + 30 Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3[x] = 30 Bài 10 : Cho bảng giá trị của hàm số y= f[x] X 321,0 322,0 324,0 325,0 Y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Tính gần đúng t [324,5] bằng đa thức nội suy Lagrange ? Giải : Gọi x* =323,5  y[x* ] =p3 [x* ] = y0l0[x* ]+ y1l1[x* ] +y2l2[x* ] + y3l3[x* ] Ta có [323,5 − 322,8][323,5 − 324,2][323,5 − 325,0] l0[x* ] = [321,0 − 322,8][321,0 − 324,2][321,0 − 325,0] = - 0,031901041 = -0,03190 [323,5 − 321,0][323,5 − 324,2][323,5 − 325,0] L1[x* ]= [322,8 − 321,0][322,8 − 324,2][322,8 − 325,0] = 0,473484848
19. = 0,43748 [323,5 − 321,0][323,5 − 322,8][323,5 − 325,0] L2[x* ]= [324,2 − 321,0][324,2 − 322,8][324,2 − 325,0] =0,732421875 =0,73242 [323,5 − 321,0][323,5 − 322,8][323,5 − 324,2] L3[x* ]= [325,0 − 321,0][325,0 − 322,8][325,0 − 324,2] =-0,174005681 = -0,17401  y [323,5]= 2,50651.[- 0,03190]+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.[-0,17401] =2,50985 Bài 11: Cho bảng giá trị của hàm số y =f[x] X -1 0 3 6 7 Y 3 -6 39 822 1011 a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f[x] b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f[0,25] Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều a. Ta có bảng ký hiệu X Y THC1 THC2 THC3 THC4 -1 3 -9 6 0 -6 15 5 41 1 3 39 13 261 132 6 822 89
20. 7 1611 Đa thức nội suy : p4[x] = 3-9[x+1]+6[x+1]x+5[x+1]x[x-3]+[x+1]x[x-3][x-6] = 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x  p4[x] = x4-3x3 +5x2 – 6 b. Tính f[-0,25] = [-0,25]4 - 3[0,25]3 |+5[0,25]2 –b = -5,636719 Bài 12 : Cho bảng giá trị của hàm số y=sinx X 0,1 0,2 0,3 0,4 Y=f[x] 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a. Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần đúng sin[0,4] và đánh giá sai số của giá trị nhận được b. Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin [0,46] và đánh giá sai số Giải: a. Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân: ∆ 2Y ∆ 3Y X Y ∆Y 0,1 0,09983 0,09884 -0,00199 0,2 0,19867 -0,00096 0,09685 0,3 0,29552 -0,00295 0,09390 0,4 0,38942 Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính: ∆y 0 t [t − 1] 2 t [t − 1][t − 2] 3 Sai [0,014] = pn[x] [ x=0,1+0,1t] = y0 + t. + ∆ y0 + ∆ y0 1! 2! 3! Theo bài ra ta có : x=0,14  0,1+0,1t =0,1 ϕ => t=0,4

Page 2

YOMEDIA

Các giá trị của các biến số ở đó hai hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phương trình. Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình. Nghiệm số, nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học và biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng phương pháp số, ngay cả khi không thể biểu diễn bằng hàm toán học cơ bản....

01-04-2011 420 79

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.