>> //tuyensinh247.com/ 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài 1:Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A [2;-5;1] ; B[3;4;-2] ;C[0;0;-1] ;D[1;1;0] [P]: 2x-y+3z-1=0 ; [Q]:x-3y+2z+1=0 [R]:x+y-z-3=0 d1: 1 3 61 2 3x y z ; d2 123xtytzt d3: 2213xtytzt 42:132xtd y tzt Tìm phương trình mặt phẳng [] sau: 1/ Đi qua 3 điểm A;B;C 2/ Đi qua 2 điểm A& B và song song trục Oy 3/ Đi qua 2 điểm A& B và song song d1 4/ Đi qua 2 điểm A& B và vuông góc mp[P] 5 / Đi qua 2 điểm A& B và song song CD 6/ Đi qua điểm A và song song mp[Q] 7/ Đi qua điểm A và vuông góc d2 8/ Qua điểm B song song trục oy và vuông góc mp[Q] 9/ Đi qua điểm A và song song 12&dd[chéo nhau] 10/ Đi qua điểm A và vuông góc mp[P]& [Q] 11/ Đi qua điểm A và chứa 2d 12/ Chứa 1&dvuông góc mp[P] 13/ Chứa 1&d4dcắt nhau tại M 14/ Chứa 1&d3d song song nhau 15/ Đi qua điểm A chứa giao tuyến của 2 mp [P] &[Q] 16/ Chứa giao tuyến của 2 mp [P] &[Q] và vuông góc [R] Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A[ 3;-2;-2], B[3;2;0], C[0;2;1], D[ -1;1;2] a] Viết phương trình mặt phẳng [ABC]. b] Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. c] Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa AB và song song với CD. d] Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa CD và vuông góc với mp[ABC]. Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : a] Mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-3] và có vtpt [1; 3;5]n b] Mặt phẳng [P] đi qua B[3,-1,4] và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0 c] Mặt phẳng [P] đi qua C[1,-1,0] và song song với mặt phẳng yOz d/. Mặt phẳng [P] đi qua D[5,-1,-3]và vuông góc với đthẳng d: 1 3 12 1 3x y z Bài 4:Viết phương trình mặt phẳng [P] trong các trường hợp sau : a] [P] đi qua M[2 ;3 ;2] và song song với giá hai véctơ [1;1; 2]; [ 3;1;2]uv b] [P] đi qua hai điểm M[1 ;-2 ;1], N[-1 ;1 ;3] và song song với trục Oy c] [P] đi qua điểm M[1 ;-1 ;2] và chứa đường thẳng 2 1 3[ ]:2 1 1x y zd d] [P] đi qua M[2 ;-1 ;1], N[-2 ;3 ;-1] và vuông góc với mp [Q]: 4x - y 2z 1 = 0 e] [P] đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M[4;-1;2] trên các mp tọa độ. f] [P] đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M[4;-1 ;2] trên các trục tọa độ >> //tuyensinh247.com/ 2 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng [P]:2x – y+2z - 4=0 và[Q]:x - 2y- 2z+ 4=0 a] Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng [P] và [Q] vuông góc nhau. b] Tìm tọa độ giao điểm A,B,C của mặt phẳng [P] với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. c] Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng [P] d] Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp[Q] Bài 6:Trong không gian Oxyz, cho điểm M[2;1;-1] và mặt phẳng [P] : 2x + 2y - z + 2 = 0 a] Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng [P]. b] Viết phương trình đường thẳng [d] qua M vuông góc với mặt phẳng [P]. Bài 7: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[2;1;4]; B[-1;-3;5]. Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A[2;3;1]; B[4;1;-2]; C[6;3;7]; D[-5;-4;8]. a] Viết PT mặt phẳng [ABC]. b] Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng: a] Đi qua điểm A[1;0;2] và song song với mp[Oxy]. b] Đi qua điểm M[2;-4;3] và vuông góc với trục Ox. c] Đi qua điểm I[-1;2;4] và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0 Bài 10: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M[1;2;-3] trên các trục toạ độ. Bài 11: Viết phương trình của mp[P] chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình: x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0 Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A[[1;0;-2]; B[-1;-1;3] và mp[P]: 2x-y+2z+1=0. Viết phương trình mp[Q] đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp[P]. Bài 13: Trong không gian Oxyz cho các điểm A[-1;2;0]; B[-3;0;2]; C[1;2;3]; D[0;3;-2]. Viết phương trình mặt phẳng chứa AD và song song với BC. Bài 14: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 212xtytzt và điểm A[1;-2;2]. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa điểm A và đường thẳng d. Bài 15: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng [ ]:2 4 0x y z và [ ']: 3 1 0x y z . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[1;0;1] và chứa đường thẳng d. Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A[-1;3;-2] Bài 17: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 122:11xtd y tz và 21:13xd y tzt. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d2. Bài 18: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng: []: x-2y+z-4=0 ; [ ']: x+2y-2z+4=0. a] Chứng tỏ hai mặt phẳng[ ],[ '] cắt nhau theo một giao tuyến d1. b] Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2: 1212xtytzt Bài 19: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-2=0 và x+2y-4=0. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và vuông góc với mp[Q]: 2x-y+2z-3=0. >> //tuyensinh247.com/ 3 Bài 20: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng [ ]:2 1 0xy và [ ']: 1 0z. a] Chứng tỏ 2 mặt phẳng [ ];[ '] cắt nhau theo một giao tuyến d. b] Viết phương trình mp[P] chứa d và cách điểm I[-1;2;3] một khoảng bằng 3.
Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!
Phương trình mặt phẳng trong không gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với \[A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\]
Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:
Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\]
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \[\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\]
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \[AA’ + BB’ + CC’ = 0\]
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho điểm M[a, b, c] và mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M tới [P] được xác định như sau:
\[d[A, [P]] = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\]
Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
Vì mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\]
Mặt phẳng [P] có vector pháp tuyến \[\vec{n}[A, B, C]\]
Khi đó phương trình mặt phẳng [P]: \[A[x-x_{0}] + B[y-y_{0}] + C[z-z_{0}] = 0\]
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M [3;1;1] và có VTPT \[\vec{n} = [1; -1; 2]\]
Cách giải:
Thay tọa độ điểm M và VTPP \[\vec{n}\] ta có:
[P]: \[[1][x – 3] + [-1][y – 1] + 2[z – 1] = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\]
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng
Vì mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng [P] có 1 cặp vector chỉ phương là \[\vec{AB} ; \vec{AC}\]
Khi đó ta gọi \[\vec{n}\] là một vector pháp tuyến của [P], thì \[\vec{n}\] sẽ bằng tích có hướng của hai vector \[\vec{AB}\] và \[\vec{AC}\]. Tức là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\]
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm không thẳng hàng A[1,1,3]; B[-1,2,3]; C[-1;1;2]
Cách giải:
Ta có: \[\vec{AB} = [-2;1;0]; \vec{AC} = [-2,0,-1] \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\]
Suy ra mặt phẳng [P] có VTPT là \[\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = [-1,-2,2]\] và đi qua điểm A[1,1,3] nên có phương trình:
\[[-1][x – 1] – 2[y – 1] + 2[z – 3] = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\]
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và song song với mặt phẳng [Q]: Ax + By + Cz + m =0
Vì M thuộc mp[P] nên thế tọa độ M và pt [P] ta tìm được M.
Khi đó mặt phẳng [P] sẽ có phương trình là:
\[A[x – x_{0}] + B[y – y_{0}] + C[z – z_{0}] = 0\]
Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1;-2;3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 3y + z + 5 = 0
Cách giải:
Vì [P] song song với [Q] nên VTPT của [P] cùng phương với VTPT của [Q].
Suy ra [P] có dạng: 2x – 3y + z + m = 0
Mà [P] đi qua M nên thay tọa độ M [1;-2;3] ta có:
\[2.1 + [-3].[-2] + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\]
Vậy phương trình [P]: 2x – 3y + z – 11 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước
Mặt phẳng [P] đi qua điểm \[M[x_{0}; y_{0}; z_{0}]\] và đường thẳng d.
Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \[\vec{MA}\] và VTCP \[\vec{u}\], từ đó tìm được VTPT \[2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\].
Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng [P]
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [3;1;0] và đường thẳng d có phương trình: \[\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\]
Cách giải:
Lấy điểm A [3;-1;-1] thuộc đường thẳng d.
Suy ra \[\vec{MA} [0; -2; -1]\] và VTCP \[\vec{u} [-2; 1; 1]\]
Mặt phẳng [P] chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \[\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = [-1; 2; 4]\]
Vậy phương trình mặt phẳng [P]: \[-1[x – 3] + 2[y – 1] – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\]
Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha