Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm lớp 11

I. Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến

+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M.

+Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước.

+Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

Phương trình tiếp tuyếntại tiếp điểmM[x0,y0]có dạng:

y=f‘[x0][x−x0]+y0[1]

Trong đóf‘[x0]là đạo hàm của hàm số tại điểmx0.

x0;y0là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là:f′[x0];x0vày0.

1. Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trướcM[x0,y0]

Cách làm:Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểmM[x0,y0]thì công việc cần làm là tìmf′[x0];x0vày0, trong đóx0,y0chính là tọa độ của điểm M, vì vậychỉ cần tínhf′[x0], rồi thay vào phương trình [1] là xong.

2. Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f[x], viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A[a,b]

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến củaΔcó dạng: y = f’x0[x – x0] + y0 [2]

Và có tiếp điểmM0[x0,y0]

Vì A[a,b] thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′x0[a–x0]+fx0vớifx0=y0

Phương trình này chỉ chứa ẩnx0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìmx0.

Sau đó sẽ tìm đượcf′x0 và y0.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

3. Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyếnΔcủa đồ thị[C] y = f[x] khihệ số góc k ta làm theo các bước sau:

• Bước 1:Tính đạo hàm f’[x]
• Bước 2:Giải phương trình f’[x] = k để tìm hoành độx0của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểmM0[x0;y0]vớiy0=f[x0]
• Bước 3:Viết phương trình tiếp tuyếnΔtại tiếp điểmM0[x0;y0]:

y=f′[x0][x–x0]+y0

***Chú ý:Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

4. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua tiếp điểmM[x0,y0]lày=a[x−x0]+y0

II. BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ ĐÁP ÁN

Bài tập 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x tại:

a] ĐiểmA[1;4].

b] Điểm có hoành độx0=−1

c] Điểm có tung độy0=14.

d] Giao điểm của[C]với đường thẳngd:y=3x−8.

Lời giải chi tiết

a] Ta có:f'[x] + 3x2 + 3 => f'[1] = 6

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại A [1;4] là y = 6[x-1] + 4 = 6x - 2

b] Với x = x0 = -1 => f[x0] = -4 => f'[x0] = 6

Do vậy phương trình tiếp tuyến lày = 6[x+1] − 4 = 6x + 2

c] Với y0 = 14 => x3 + 3x = 14 x0 = 2; f'[2] = 15

Do vậy phương trình tiếp tuyến là:y = 15[x−2] + 14 = 15x − 16

d] Hoành độ giao điểm của[C]vàdlà x3 + 3x = 3x - 8 x= -2

Vớix = −2 ⇒ y = −14 ⇒ f′[−2] = 15. Do đó phương trình tiếp tuyến lày = 15[x+2] − 14 = 15x + 16.

Bài tập 2:Cho hàm số

a] Viết phương trình tiếp tuyến của[C]tại điểm có tung độy0=3.

b] Viết phương trình tiếp tuyến của[C]tại giao điểm của[C]với đường thẳngd:y=x−2.

Lời giải chi tiết

Bài tập 3:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A.y=−x−2 B.y=x−2 C.y=−x D.y=−x+1

Lời giải chi tiết

Ta có x0 = 1 => y0 = -1; f'[x] = 3x2 -4 => f'[1] = -1

Do vậy PTTT là:y=−[x−1]−1=−x.Chọn C.

Bài tập 4:

A.y=−3x−1 B.y=−3x−3 C.y=−3x D.y=−3x+3

Lời giải chi tiết

[C]∩Oy=A[0;−1]. Lại có y' = -3/[x-1]2 => y'[0] = -3

Do vậy phương trình tiếp tuyến là:y=−3x−1.Chọn A.

Bài tập 5:

Lời giải chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y = f[x] đi qua điểm M[x1; y1]

Cách 1 :

Liên quan: viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm

– Phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :

y = k[ x – x1] + y1.

– [d] tiếp xúc với đồ thị [C] tại N[x0; y0] khi hệ:

có nghiệm xo

Cách 2 :

– Gọi N[x0; y0] là tọa độ tiếp điểm của đồ thị [C] và tiếp tuyến [d] qua điểm M, nên [d] cũng có dạng y = y’0[x – x0] + y0.

– [d] đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0′[x1 – x0] + y0 [*]

– Từ phương trình [*] ta tìm được tọa độ điểm N[x0; y0] , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng [d]

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 + 5 có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A [19/12; 4] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 6×2 – 6x

Gọi M[x0; y0]∈[C]⇔ y0 = 2×03 – 3×02 + 5 và y'[x0] = 6×02 – 6×0

Phương trình tiếp tuyến Δ của [C] tại M có dạng:

y – y0 = y’[x0][x – x0]

⇔ y – 2×03 + 3×02 – 5 = [6×02 – 6×0][x – x0 ]

⇔ [6×02- 6×0]x – 4×03 + 3×03 + 5 = y

A ∈ Δ ⇔4 =[6×02 – 6×0].[19/12] – 4×03 + 3×03 + 5

⇔8×03 – 25×02 + 19×0 – 2 = 0

⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8

Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x – 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = [-21/32]x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số:

có đồ thị là [C] và điểm A[0; m]. Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến [C] sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R{1}

Gọi điểm M[x0; y0].

Ta có y’ = -3/[x-1]2

Tiếp tuyến Δ tại M của [C] có phương trình:

Vì tiếp tuyến qua A[0; m] nên ta có:

Yêu cầu bài toán ⇔ [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Khi đó:

Ta có: [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Vậy 1 ≠ m > [-2/3] là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + [m – 1]x + 2m có đồ thị là [Cm]. Tìm m để từ điểm M[1; 2] vẽ đến [Cm] đúng hai tiếp tuyến.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2 – 4x + m-1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y =[3a2-4a+m-1][x-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m

Vì M ∈ Δ ⇔2 = [3a2-4a+m-1][1-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m

⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 [*]

Yêu cầu bài toán tương đương với [*] có đúng hai nghiệm phân biệt. [1]

Xét hàm số: h[t] = 2t3+5t2-4t, t∈R.

Ta có: h’[t] = 6t2+10t-4. Cho h’[t] = 0 ⇒

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra [1]

⇒

là những giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số y = [1/3]x3-2×2+3x có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A[4/9; 4/3] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = x2-4x+3. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-5/9]x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

, biết tiếp tuyến đi qua điểm M[6;4]

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [3/4]x – 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị [C]:

biết d đi qua điểm A[-6; 5]

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-1/4][x-6] + 2 = [-1/4]x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 – 2×2 + x + 4 đi qua điểm M[ -4; -24]

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2-4x+1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = [3a2-4a+1][x-a]+a3-2a2+a+4

Vì A[-4; -24] ∈ Δ ⇔ -24 = [3a2-4a+1][-4-a]+a3-2a2+a+4

⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133[x+6]-240 = 133x+508

Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5[x-2]+6 = 5x-10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8[x+1]+2 = 8x+10

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số

tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm [-6; 5] là

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm [2; 3] tới đồ thị hàm số

là:

A. y = -28x + 59; y = x + 1

B. y = -24x + 51; y = x + 1

C. y = -28x + 59

D. y = – 28x + 59; y = -24x + 51

Bài 3: Cho hàm số

có đồ thị [C]. Phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua điểm A[- 1; 0] là:

A.y = [3/4]x

B. y = [3/4][x+1]

C. y = 3[x + 1]

D. y = 3x + 1

Bài 4: Qua điểm A[0; 2] có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Bài 5: Cho hàm số y = – x4 + 2×2 có đồ thị [C]. Xét hai mệnh đề:

[I] Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với [C] tại M[-1; 1] và tại N[1; 1]

[II] Trục hoành là tiếp tuyến với [C] tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ [I]

B. Chỉ [II]

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 9x – 1 có đồ thị là [C]. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến [C]:

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D.3 hoặc -3

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?

A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 biết nó đi qua điểm M[2; 0] là:

A. y = 27x ± 54

B. y = 27x – 9; y = 27x – 2

C. y = 27x ± 27

D. y = 0; y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị [C]. Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với [C] thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

A. M[4; 12] B. M[- 4; 12] C. M[-4; – 12] D. M[ 4; – 12]

Bài 11: Cho hàm số

có đồ thị [C]. Từ điểm M[2; -1] có thể kẻ đến [C] hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y = -x + 1 và y = x – 3

B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3

C. y = -x – 1 và y = – x + 3

D. y = x + 1 và y = – x – 3

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 [C]. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N[0; 1].

Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến đi qua điểm M[-1; 3].

A. y = -6x – 2

B. y = -6x – 9

C. y = -6x – 3

D. y = -6x – 8

Bài 14: Cho hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết tiếp tuyến đi qua điểm A[4; 3]

Bài 15: Cho hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến đi qua A[ – 7; 5].

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 1]
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 2]

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Danh mục: Tin Tức

Nguồn: //banmaynuocnong.com

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác