- LG a
- LG b
Cho hàm số: \[y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\].
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[ - 5\].
[Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\].
Có \[y' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} < 0,\forall x \in D\] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;2} \right]\] và \[\left[ {2; + \infty } \right]\].
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\] nên TCN \[y = 2\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ \[x = 2\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[ - 5\].
Phương pháp giải:
- Giải phương trình \[y' = k\] tìm hoành độ giao điểm.
- Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức \[y = k\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} = - 5\]\[ \Leftrightarrow {[x - 2]^2} = 1\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\]
Với \[x = 3\] ta có \[y = 7\] nên phương trình tiếp tuyến là \[y = - 5\left[ {x - 3} \right] + 7\] hay \[y = - 5x + 22\].
Với \[x = 1\] ta có \[y = - 3\] nên phương trình tiếp tuyến là \[y = - 5\left[ {x - 1} \right] - 3\] hay \[y = - 5x + 2\].