Cách giải dang toán tham số m lớp 12

Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có a chứa tham số thì ta cần xét a = 0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên R hay không.

- Không xét bài toán tìm m để hàm số y = ax 4 + bx 2 + c đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm là x = 0.

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số (c ≠ 0,ad - bc ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định:

Bước 2: Đạo hàm:

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y' > 0,∀x ∈ D ⇔ ad - bc > 0 → m
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y' < 0,∀x ∈ D ⇔ ad - bc < 0 → m

Lưu ý: Nếu hàm số có c chứa tham số thì ta nên xét c = 0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không.

Mở rộng:

• Tìm tham số để hàm số (ad ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định:

Bước 2: Đạo

hàm:

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y' ≥ 0,∀x ∈ D.
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y' < 0,∀x ∈ D

Ví dụ 1. Cho hàm số y = -x 3 - mx 2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)

1. 4 B. 6 C. 7 D. 5

Lời giải

TXĐ: D = R.

Đạo hàm y' = -3x 2 - 2mx + 4m + 9

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ R

( y' = 0 có hữu hạn nghiệm).

Do a = -3 < 0 nên y’ ≤ 0 ⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ m 2 + 3(4m + 9) ≤ 0 ⇔ -9 ≤ m ≤ -3.

Vậy có 7 giá trị m thoả mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Sai lầm hay gặp là ''Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) thì ⇔ y' < 0,∀x ∈ R''. Khi đó ra giải ra -9 ≤ m ≤ -3 và chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số ( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi các giá trị của m là:

1. m ≥ 1. B. m = 1. C. D. -1 < m < 1

Lời giải

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y' ≤ 0,∀x ∈ R

(Dấu '' = '' chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D )

⇔ g(x) = -x 2 + 4x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ D.

Do a = -1 < 0, nên g(x) ≤ 0.

⇔ Δg' ≤ 0 ⇔ 4 - (-1).(2m + 1) ≤ 0 ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Hàm số y = x 3 + mx đồng biến trên R khi:

1. Chỉ khi m = 0. B. Chỉ khi m ≥ 0.

3. Chỉ khi m ≤ 0. D. Với mọi m.

Câu 2. Tìm m lớn nhất để hàm số đồng biến trên R?

1. m = 1. B. m = 2. C. Đáp án khác. D. m = 3.

Câu 3. Hàm số luôn đống biến trên R thì giá trị m nhỏ nhất là:

1. m = - 4. B. m = 0. C. m = - 2. D. m = 1.

Câu 4. Hàm số nghịch biến trên R thì điều kiện của m là:

Câu 11. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) = 2x + asinx + bcosx luôn tăng trên R?

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định?

1. m < -3 B. m ≤ -3 C. m ≤ 1 D. m < 1

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên R?

1. -3 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ 1 C. -3 < m < 1 D. m ≤ -3; m ≥ 1

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm

số tăng trên từng khoảng xác định của nó?

1. m > 1. B. m ≤ 1 C. m < 1 D. m ≥ 1

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + m cosx luôn đồng biến trên R?

Tìm hiểu dạng bài có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đơn điệu thông qua 10 ví dụ đặc trưng và cách giải chi tiết nhất. Đây là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm đơn điệu trên khoảng cho trước

Phương pháp giải

Gặp dạng toán này chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó các bước giải bài tập cần phải trình bày thật chính xác.

– Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

– Bước 2: Xét dấu của m khi đạo hàm âm hoặc dương (nghịch biến hay đồng biến)

– Bước 3: Giải bất phương trình chứa tham số m

– Bước 4: Đếm số giá trị nguyên của tham số m

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

1. 0

2. 3

3. 2

4. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1.

Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1.

Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ ±1.

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.

⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Câu 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

1. 5

2. 4

3. 6

4. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có:

TXĐ: D = ℝ

y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9

Hàm số nghịch biến trên (-∞; +∞) khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞)

⇔ m ∊ [-9; -3]

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓(m2 – m) x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

1. 4

2. 5

3. 3

4. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

+) Với m = 0

Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

+) Với m = 1

Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với

Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + (3m + 5) x đồng biến trên ℝ.

1. 4

2. 2

3. 5

4. 6

Lời giải

Chọn D

Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5

Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.

Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

1. [-2; 2]

2. (-∞; 2)

3. (-∞; -2]

4. [2; +∞)

Lời giải

Chọn A

Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞).

⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Tài liệu tham khảo

Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số – Thầy Hoàng Xuân Nhàn – 52 trang

Các dạng toán về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến – Thầy Nguyễn Bảo Vương – 59 trang

Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan – Thầy Phùng Hoàng Em – 17 trang

Bài tập trắc nghiệm VDC tính đơn điệu của hàm số – 34 trang

Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m – VerbaLearn – 28 trang

Bài toán vận dụng cao về tính đơn điệu của hàm số – Thầy Nguyễn Công Định – 126 trang

Nguyễn Anh Dũng là người nghiên cứu sâu rộng về bản chất, chức năng và ý nghĩa của giấc mơ. Đồng thời cũng là tác giả phụ trách chính cho chuyên mục giải mã giấc mơ trên VerbaLearn. Anh đã dành phần lớn thời gian để ghi nhật ký giấc mơ của chính bản thân đồng thời tìm hiểu và kết nối với các chuyên gia giấc mơ khác trên toàn thế giới thông qua các bài báo, cuốn sách về giấc mơ.