Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp cơ bản năm 2024

là một trong những nội dung mà các bạn học sinh lớp 9 cần nắm được để chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng. Vậy tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp là gì? Mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây của Hoàng Hà Mobile để có thông tin chi tiết nhé!

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp hay còn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn là hình tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Trong đó, các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn gọi là đồng viên và đường tròn gọi là đường tròn ngoại tiếp.

Định lý thuận về tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp sẽ có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ.

Bên cạnh định lý thuận, tứ giác nội tiếp còn có định lý đảo như sau: Nếu một hình tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tính chất của tứ giác nội tiếp

Sau khi nắm được định lý thuận, định lý đảo, các bạn cần hiểu được tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Những tính chất này sẽ giúp các bạn vận dụng để giải quyết bài toán liên quan. Các tính chất của hình tứ giác nội tiếp cụ thể như sau:

• Theo định lý, trong hình tứ giác nội tiếp sẽ có hai góc đối diện bằng 180 độ.
• Tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
• Mọi tam giác dù là tam giác thường, tam giác vuông, cân thì đều có đường tròn ngoại tiếp.
• Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm trung tâm được gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Có những dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp nào?

Trong môn toán hình học lớp 9, tứ giác nội tiếp là một nội dung quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm được. Dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp gồm:

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định tức là tồn tại điểm O sau cho OA = OB = OC = OD.
• Một hình tứ giác có hai góc đối tổng bằng 180 độ.
• Một hình tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tứ giác nội tiếp như thế nào?

Để chứng minh hình tứ giác nội tiếp có rất nhiều cách dựa trên tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Sau đây, chúng tôi sẽ chia sẻ những cách chứng minh tứ giác nội tiếp dễ hiểu nhất cho các bạn tham khảo:

Chứng minh bốn đỉnh cách đều một điểm

Nếu đề bài cho trước một đường tròn O, bán kính R thì bất cứ điểm nào trên đường tròn đều cách tâm một khoảng R. Do đó, dựa vào lý thuyết này để chứng minh tứ giác nội tiếp một cách nhanh chóng. Ví dụ cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD, để chứng minh đây là hình tứ giác nội tiếp thì các bạn hãy chứng minh IA = IB = IC = ID. Điểm I chính là tâm của đường tròn và có bán kính là IA.

Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ

Ngoài cách chứng minh hình tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm, các bạn còn có thể chứng minh hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ. Chẳng hạn như cho hình tứ giác ABCD, các bạn hãy chứng minh góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ. Chỉ cần chứng minh được một cặp góc đối diện có tổng bằng 180 độ theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì đây chính là hình tứ giác nội tiếp.

Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối

Cách chứng minh này khá đơn giản, các bạn cần chứng minh góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong của đỉnh C thì hình tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tứ giác đặc biệt

Đối với dạng bài chứng minh tứ giác nội tiếp, các bạn có thể chứng minh qua dạng tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,… Từ đây, các bạn sẽ suy ra tứ giác trong đề bài là tứ giác nội tiếp.

Cách giải một số dạng bài tập tứ giác nội tiếp lớp 9

Để giải bài tập liên quan, các bạn cần hiểu được định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Khi nắm chắc kiến thức, các bạn sẽ áp dụng linh hoạt với từng yêu cầu đề bài. Sau đây, chúng tôi sẽ lấy một số ví dụ dạng bài tập tứ giác nội tiếp thường gặp cho các bạn tham khảo:

Bài 1

Cho tam giác nhọn ABC với đường cao BM, CN cắt nhau tại điểm H. Hãy chứng minh AMHN và BNMC là hình tứ giác nội tiếp.

Đây là một dạng bài thường gặp đối với các bạn học sinh lớp 9. Để giải bài tập này rất đơn giản. Đầu tiên hãy xét tứ giác AMHN có góc AMH + ANH = 90 + 9- = 180 độ. Theo dấu hiệu nhận biết, hình tứ giác AMHN có tổng hai góc đối bằng 180 độ dẫn tới AMHN là hình tứ giác nội tiếp.

Tương tự như trên, xét hình tứ giác BNMC có góc BNC = BMC = 90 độ. Theo đó, chúng ta kết luận tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Bài 2

Hình tứ giác ABCD nội tiếp tâm O, điểm M nằm giữa cung AB. Khi nối điểm M với D, C sẽ cắt cạnh AB tại điểm E và P. Hãy chứng minh hình PEDC là tứ giác nội tiếp?

Với đề bài này ta thấy góc AED bằng 1/2 tổng số đo của cung AD và MB. Như vậy, bằng 1/2 số đo cung DM nên bằng với góc MCD. Từ đây, các bạn suy ra góc DEP + PCD sẽ bằng 180 độ -> PEDC là hình tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).

Bài 3

Cho biết hình thang ABCD trong đó góc C = D = 60 độ, cạnh CD = 2AD. Hãy chứng minh các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Dạng toán này cũng thường gặp liên quan tới dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp lớp 9. Trong các tiết học trên lớp, ôn luyện, chắc hẳn các bạn đã được thầy cô hướng dẫn chi tiết. Để giải bài toán này, các bạn hãy tham khảo hướng dẫn sau:

• Đầu tiên, các bạn hãy gọi I là trung điểm của cạnh CD.
• Lúc này ta có cạnh IC = AB và IC // AB. Từ đây suy ra ICBA là hình bình hành nên cạnh BC = AI (1).
• Tương tự cách chứng minh trên ta được AD = IB (2).
• Theo đề bài, ABCD là hình thang nên có góc C = D = 60 độ => đây là hình thang cân (3).

Từ ba lý lẽ trên suy ra ICB, IAD là tam giác đều => AI = IB = IC = ID => điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (điều phải chứng minh).

Bài 4

Cho biết hình tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trong đó, M thuộc đường tròn, hãy vẽ MH vuông góc với BC tại điểm H và MI vuông góc với AC tại điểm I. Hãy chứng minh tứ giác MIHC là tứ giác nội tiếp.

Đa số các bạn học sinh lớp 9 thường sợ hãi trước bài tập tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên, chỉ cần các bạn nắm được định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì mọi bài tập đều trở nên đơn giản. Đối với bài tập này, có thể thấy góc MIC bằng góc CHM đều bằng 90 độ. Từ đây suy ra MIHC là hình tứ giác nội tiếp bởi có hai đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới góc vuông.

Bài 5

Cho biết nửa đường tròn có đường kính AB = 2R, đường tiếp tuyến Ax cùng phía với AB. Từ vị trí điểm M, các bạn hãy vẽ đường tiếp tuyến MC, cạnh AC cắt OM tại điểm E và MB cắt nửa đường tròn tại D. Yêu cầu chứng minh tứ giác AMCO, AMDE, MBCD là tứ giác nội tiếp.

Ở dạng bài này, đề bài có phần phức tạp hơn tuy nhiên dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp sẽ cách giải cũng rất đơn giản. Theo đề bài, MA và MC là tiếp tuyến nên suy ra góc MAO và MCO bằng nhau bằng 90 độ.

Xét tứ giác AMCO ta có góc MAO + MCO = 180 độ suy ra AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn (điều phải chứng minh).

Tiếp theo, ta có góc ABD bằng 90 độ nên suy ra ADM cũng bằng 90 độ.

Ta có OA = OC = R và MA = MC do tính chất đường tiếp tuyến.

Suy ra OM sẽ là đường trung trực -> góc AME bằng 90 độ.

Qua những lý lẽ trên, chúng ta suy ra ADM = AEM = 90 độ.

Như vậy, AMDE có hai đỉnh A, E liền kề nhau và cùng nhìn cạnh MA với một góc không đổi. Dựa vào dấu hiệu tứ giác nội tiếp thì AMDE nội tiếp đường tròn có bán kính MA (điều phải chứng minh).

Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp lớp 9

Trên đây, chúng tôi đã nhắc lại phần lý thuyết gồm định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng lấy ví dụ về các dạng bài cụ thể cho các bạn hiểu rõ hơn. Tuy nhiên, khi làm bài tập tứ giác nội tiếp, các bạn học sinh cần lưu ý một số điều sau:

• Lưu ý đầu tiên là các bạn cần vẽ hình chuẩn xác theo yêu cầu đề bài. Chỉ khi vẽ hình chuẩn xác thì các bạn dễ dàng xác định điều cần chứng minh.
• Đối với các góc, đoạn thẳng cần được đánh dấu rõ ràng, tránh nhầm lẫn.
• Các bạn cần nắm chắc kiến thức lý thuyết, bám vào yêu cầu đề bài để tránh lạc hướng.
• Chú ý tới những yêu cầu của đề bài, đây chính là những gợi ý giúp các bạn chứng minh dễ dàng hơn.
• Cuối cùng, các bạn học sinh không nên dùng điều cần chứng minh để chứng minh lại. Đây là lỗi thường gặp trong bài tập tứ giác nội tiếp của các bạn học sinh lớp 9.

Ngoài những lưu ý trên, khi học tập ở trường, các bạn cần chú ý nghe thầy cô giảng và ghi chép bài đầy đủ. Các bạn cần nắm chắc kiến thức ở trên lớp còn về nhà luyện tập thêm bài tập. Để giúp các bạn học tốt hơn học phần tứ giác nội tiếp, các bậc phụ huynh có thể mua cho con thêm bộ sách tham khảo, hỗ trợ. Trong trường hợp cần thiết, phụ huynh có thể cho con đi học thêm tại trung tâm hoặc mua khoá học online.

Tạm Kết

Bài viết trên, chúng tôi đã chia sẻ định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp cho các bạn tham khảo. Bên cạnh nội dung lý thuyết, chúng tôi cũng lấy các ví dụ minh hoạ để các em có cái nhìn trực quan và dễ hiểu hơn. Tứ giác nội tiếp là một trong những nội dung quan trọng của toán hình học lớp 9. Các em cần nắm chắc kiến thức này để phục vụ cho kỳ thi lớp 10 phía trước. Chúc các bạn học tập tốt, đạt kết quả học tập tốt, xứng đáng với những nỗ lực của mình.

Chứng minh tứ giác nội tiếp như thế nào?

Đối với chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng các dấu hiệu nhận biết sau: + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o. + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được).

Làm sao để chứng minh tam giác nội tiếp?

Để xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, ta có thể sử dụng một trong những phương pháp sau đây:.

Cách 1: Sử dụng trung tuyến tam giác. - Vẽ 3 đường trung tuyến của tam giác. ... .

Cách 2: Sử dụng trung trực tam giác. ... .

Cách 3: Sử dụng phương pháp đường cao tam giác. ... .

Cách 4: Sử dụng công thức trực tâm tam giác..

Tứ giác nội tiếp đường tròn bằng bao nhiêu đó?

Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo của hai góc đối diện nhau bằng 180 độ.

Tứ giác ABCD nói tiếp khi nào?

Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc ngoài đối diện góc đó. Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó. Ví dụ như: Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn.