- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Cách nhân đơn thức với đa thức
I. Quy tắc:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau.
Với mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì:
Xm.Xn = Xm+n
Xm.Ym= [XY]m
II. Các dạng bài
Dạng 1: Rút gọn biểu thức sử dụng phép nhân đa thức với đơn thức
1. Phương pháp giải:
- Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để phá ngoặc và kết hợp với các phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thức
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Làm tính nhân:
a, 2x2.[3x3 + 2x]
= 2x2.3x3 + 2x2.2x
= 6x5 + 4x3
b, 3x.[x2 + 2x + 2]
= 3x.x2 + 3x.2x + 3x.2
= 3x3 + 6x2 + 6x
c,
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a, M = 2x2 [x3 - x2 + 1] + 4x[x4 - 2x3 + 1]
= 2x2.x3 - 2x2.x2 + 2x2.1 + 4x.x4 - 4x.2x3 + 4x
= 2x5 - 2x4 + 2x2 + 4x5 - 8x4 + 4x
= [2x5 + 4x5] - [2x4 + 8x4] + 2x2 + 4x
= 6x5 - 10x4 + 2x2 + 4x
b, N = x3 [1 + 2x2 - 4x] + 3x4[3 - x]
= x3.1 + x3.2x2 - x3.4x + 3x4.3 - 3x4.x
= x3 + 2x5 - 4x4 + 9x4 - 3x5
= [2x5 - 3x5] + [9x4 - 4x4] + x3
= -x5 + 5x4 + x3
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức cho trước.
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức đã cho sau đó thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:
a, A = 3x.[2x2 - 1] tại x = 1
Ta có:
A = 3x.[2x2 - 1]
= 3x.2x2 - 3x.1
= 6x3 - 3x
Tại x = 1 thay vào biểu thức A ta được:
A = 6.13 - 3.1 = 6 – 3 =3
b, B = 4x2.[x2 + 4x + 2] tại x =
Ta có:
B = 4x2.[x2 + 4x + 2]
= 4x2.x2 + 4x2.4x + 4x2.2
= 4x4 + 16x3 + 8x2
Tại x =
c, C = 2x.[3x2 - 5] tại x = 4
Ta có:
C = 2x.[3x2 - 5]
= 2x.3x2 - 2x.5
= 6x3 - 10x
Tại x = 4 thay vào C ta được:
C = 6.43 - 10.4
= 384 – 40
= 344.
Dạng 3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến
2. Ví dụ minh họa:
Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a, A = 3x.
b, B = x.[2x3 + x + 2] - 2x2[x2 + 1] + x2 - 2x + 1
c, C = x.[2x + 1] - x2[x + 2] + x3 - x + 3
Lời giải:
a, A = 3x.
= 2x3 - 9x5 + 9x2[x3 - 1] - 2x3 + 9x2 - 12
= 2x3 - 9x5 + 9x5 - 9x2 - 2x3 + 9x2 - 12
= [2x3 - 2x3] + [9x5 - 9x5] + [9x2 - 9x2] - 12
= -12
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x
b, B = x.[2x3 + x + 2] - 2x2[x2 + 1] + x2 - 2x + 1
= x.2x3 + x.x + x.2 - 2x2.x2 - 2x2.1 + x2 - 2x + 1
= [2x4 + x2 + 2x] - [2x4 + 2x2] + x2 - 2x + 1
= 2x4 + x2 + 2x - 2x4 - 2x2 + x2 - 2x + 1
= [2x4 - 2x4] + [x2 - 2x2 + x2] + [2x - 2x] + 1
= 1
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến x
c, C = x.[2x + 1] - x2[x + 2] + x3 - x + 3
= x.2x + x.1 - x2.x - x2.2 + x2 - x + 3
= [2x2 + x] - [x3 + 2x2] + x3 - x + 3
= 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 3
= [2x2 - 2x2] + [x3 - x3] + [x - x] + 3
= 3
Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến x
Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:
a. Phương pháp giải:
- B1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc
- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.
b. Ví dụ minh họa:
Tìm x, biết:
a, 2.[5x – 8] – 3.[4x – 5] = 4.[3x – 4]+11
⇔ 2.5x – 2.8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11
⇔ 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – 5
⇔ -2x – 1 = 12x – 5
⇔ -2x – 12x = 1 – 5
⇔ -14x = - 4
⇔
Vậy
b, 2x[6x - 2x2] + 3x2[x - 4] = 8
⇔ 2x.6x - 2x.2x2 + 3x2.x - 3x2.4 = 8
⇔ 12x2 - 4x3 + 3x3 - 12x2 = 8
⇔ [12x2 - 12x2] + [3x3 - 4x3] = 8
⇔ -x3 = 8
⇔ x3 = -8
⇔ x =-2
Vậy x = -2
B. Cách nhân đa thức với đa thức:
I. Quy tắc:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tích với nhau
Ta có:
[A + B].[C + D]
= A.[C + D] + B.[C + D]
= A.C + A.D + B.C + B.D
II. Các dạng bài:
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
1. Phương pháp giải:
Sử dung quy tắc nhân đa thức với đa thức.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, [2x + 1].[3x – 2]
= 2x.[3x – 2] + 1.[3x – 2]
= 2x.3x – 2x.2 + 1.3x – 1.2
= 6x2 - 4x + 3x – 2
= 6x2 - x – 2
b, [x2 + x + 1].[x - 2]
= x2.[x – 2] + x.[x – 2] + 1.[x – 2]
= x3 - 2x2 + x2 - 2x + x – 2
= x3 + [-2x2 + x2] + [ -2x + x] - 2
= x3 - x2 - x - 2
c, x.[xy – 1][xy + 1]
= [ x2y - x ].[xy + 1]
= x2y[xy + 1] - x[xy + 1]
= x3y2 + x2y - x2y - x
= x3y2 - x
Dạng 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1. Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến.
2. Ví dụ minh họa:
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a, P = [x + 2].[x – 3] – x[x – 6] + 7
Ta có:
P = [x + 2].[x – 3] – x[x – 1] + 7
= x[x – 3] + 2.[x – 3] - x2 + x + 7
= x2 - 3x + 2x – 6 - x2 + x + 7
= x2 - x – 6 - x2 + x + 7
= [x2 - x2] + [x – x] + [7 – 6]
= 1
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x
b, Q = [x + 2].[3x – 1] – x[3x + 3] – 2x + 7
Ta có:
Q = [x + 2].[3x – 1] – x[3x + 3] – 2x + 7
= x.[3x – 1] + 2.[3x – 1] – x.[3x + 3] – 2x + 7
= 3x2 - x + 6x – 2 - 3x2 - 3x – 2x + 7
= [3x2 - 3x2] + [6x – x – 3x – 2x] + [7 – 2]
= 5
Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến x
c, T = [2x – 3][2x + 3] – x[3 + 4x] + 3x + 1
Ta có:
T = [2x – 3][2x + 3] – x[3 + 4x] + 3x + 1
= 2x.[2x + 3] – 3.[2x + 3] – x[3 + 4x] + 3x + 1
= 4x2 + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x2 + 3x + 1
= [4x2 - 4x2] + [6x – 6x – 3x + 3x] + [1 – 9]
= -8
Vậy giá trị của biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:
a. Phương pháp giải:
- B1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc
- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.
b. Ví dụ minh họa:
a, [x - 2][x + 3] - [x - 3][x - 5] = 0
⇔ x[x + 3] - 2[x + 3] - x[x + 5] + 3[x + 5] = 0
⇔ x.x + x.3 - 2.x - 2.3 - x.x - x.5 + 3.x + 3.5 = 0
⇔ x2 + 3x - 2x - 6 - x2 - 5x + 3x + 15 = 0
⇔ [x2 - x2] + [3x - 2x - 5x + 3x] + [15 - 6]
⇔ -x + 9 = 0
⇔ x= - 9
Vậy x = -9
b, [3x + 2][x + 4] – [3x – 1][x – 5] = 0
⇔ 3x.[x + 4] + 2[x + 4] – 3x[x – 5] + 1[x – 5] = 0
⇔ 3x.x + 3x.4 + 2.x + 2.4 – 3x.x + 3x.5 + x – 5 = 0
⇔ 3x2 + 12x + 2x + 8 - 3x2 + 15x + x – 5 = 0
⇔ [3x2 - 3x2] + [12x + 2x + 15x + x] + [8 – 5] = 0
⇔ 30x + 3 = 0
⇔ 30x = -3
⇔ x =
Vậy x =
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau:
a. Phương pháp giải:
Ta chọn một trong hai vế của biểu thức để thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, sau đó rút gọn đa thức tích để thu được kết quả như vế còn lại.
b. Ví dụ minh họa:
Chứng minh
a, [x – y – z]2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx
b, [x + y – z]2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx
Lời giải
a, Xét VT = [x – y – z]2
= [x – y – z].[x – y – z]
= x[x – y – z] – y[x – y – z] –z[x – y – z]
= x2 - xy – xz – yx + y2 + yz – zx + zy + z2
= [x2 + y2 + z2] – [xy +yx] – [xz + zx] + [yz + zy]
= [x2 + y2 + z2] – 2xy – 2xz + 2yz
= [x2 + y2 + z2] – 2xy + 2yz – 2xz = VP [đpcm]
Vậy [x – y – z]2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx
b, Xét VT = [x + y – z]2
= [x + y – z].[x + y – z]
= x[x – y – z] + y[x – y – z] –z[x – y – z]
= x2 + xy – xz + yx - y2 - yz – zx + zy + z2
= [x2 - y2 + z2] + [xy + yx] – [xz + zx] - [yz - zy]
= [x2 - y2 + z2] + 2xy – 2xz - 2yz
= [x2 + y2 + z2] + 2xy - 2yz – 2xz = VP [đpcm]
Vậy [x + y – z]2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, -2xy2.[x3y - 2x2y2 + 5xy3]
b, [-2x].[x3 - 3x2 - x + 1]
c, 3x2[2x3 - x + 5]
d,
Hướng dẫn giải:
a, -2x4y3 + 4x3y4 - 10x2y5
b, -2x4 + 6x3 + 2x2 - 2x
c, 6x5 - 3x3 + 15x2
d,
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a, [3x2y - 6xy + 9x].
b, [4xy + 3y - 5x].x2y
c, 3x2.[2y - 1] - [2x2.[5y - 3] - 2x[x - 1]]
d, 25x - 4[3x - 1] + 7x[5 - 2x2]
Hướng dẫn giải:
a, -4x3y2 + 8x2y2 - 12x2y
b, 4x3y2 + 3x2y2 - 5x3y
c, -4x2y + 5x2 - 2x
d, -14x3 + 48x + 1
Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của các biểu thức sau, biết:
a] A = 7x[x - 5] + 3[x - 2] với x = 0
b] B = 4x[2x - 3] - 5x[x - 2] với x = 2 .
c] C = a2[a + b] - b[a2 - b2] + 2013, với a = 1, b = -1
d] D = m[m - n + 1] - n[n +1 - m], với
Hướng dẫn giải:
a, A = -6
b, B = 8
c, C = 2013
d, D = 0
Bài 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:
a] A = x[2x + 1] - x2[x + 2] + [x3 -x + 3]
b] B = x[x3 + 2x2 - 3x + 2] - [x2 + 2x]x2 + 3x[x - 1] + x - 12
c] C = 3xy2[4x2 - 2y] - 6y[2x3y + 1] + 6[xy3 + y - 3]
d] D = 3x[x - 5y] + [y - 5x][-3y] - 1 - 3[x2 - y2]
Hướng dẫn giải:
a, A = 3
b, B = -12
c, C = -18
d, D = - 1
Bài 5: Tìm x, biết:
a, x[x2 + 2] + 2x
b, [2x]2[x - 1] + x[x2 + 4x] = 40
c, 3x[x – 2] – 3[x2 - 3] = 8
Hướng dẫn giải:
a, x = 1
b, x = 2
c, x =
Bài 6: Thực hiện phép tính:
a, [x + 3][x – 4]
b, [x – 4][x2 + 4x + 16 ]
c, [xy2 - 1][x2y + 5]
d, 4.
Hướng dẫn giải:
a, x2 - x - 12
b, x3 - 64
c, x3y2 - 5xy2 - x2y - 5
d, 16x4 - 1
Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a, A = [3x +2][9x2 - 6x + 4] tại x =
b] B = [x + 1][x7 - x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1] tại x = 2
c] C = [x + 1][x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1] tại x = 2
d] D = 2x[10x2 - 5x - 2] - 5x[4x2 - 2x - 1] tại x = -5
Hướng dẫn giải:
a, A = 9
b, B = 255
c, C = 129
d, D = -5
Bài 8: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a] A = [5x – 2][x + 1] – [x – 3][5x + 1] – 17[x + 3]
b] B = [6x – 5][x + 8] – [3x – 1][2x + 3] – 9.[4x – 3]
c] C = x[2x + 1] - x2[x + 2] + x3 - x + 3
d] D = [x + 1][x2 - x + 1] - [x - 1][x2 + x + 1]
Hướng dẫn giải
a, A = -50
b] B = -10
c] C = 3
d] D = 2
Bài 9: Tìm x, biết:
a] [x2 - 4x + 16][x + 4] – x[x + 1][x + 2] + 3x2 = 0
b] [8x + 2][1 – 3x] + [6x – 1][4x – 10] = -50
c, 3.[1 – 4x][x – 1]+ 4[3x + 2][x + 3] = 38
d] 5.[2x + 3][x + 2] – 2[5x – 4][x – 1] = 75
Hướng dẫn giải:
a, x = 32
b, x = 1
c, x =
d, x = 1
Bài 10: Chứng minh:
a, [x + 2][x – 2][x2 + 4] = x2 - 16
b, [x2 - xy + y2][x + y] = x3 + y3
Hướng dẫn giải:
a, [x + 2][x – 2][x2 + 4] = x2 - 16
Ta có: VT = [x + 2][x – 2][x2 + 4]
= [x2 - 2x + 2x - 4][x2 + 4]
= [x2 - 4][x2 + 4]
= x4 - 4x2 + 4x2 - 16
= x4 - 16 = VP [đpcm]
b, [x2 - xy + y2][x + y] = x3 + y3
Ta có:
VT = [x2 - xy + y2][x + y]
= x3 + x2y - x2y - xy2 + xy2 + y3
= x3 + y3 = VP [đpcm]
Bài 11: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.
Hướng dẫn giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: x, x + 1, x + 2 [x ∈ N ].
Ta có tích của hai số đầu là x.[x + 1]
Tích của hai số sau là: [x + 1][x + 2]
Vì tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52 nên ta có:
[x + 1][x + 2] – x[x + 1] = 52
=> x2 + x + 2x + 2 - x2 = 52
⇔ 2x = 52
⇔ x = 26
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp là: 26, 27, 28.
Bài 12: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5
Hướng dẫn giải:
Ta có a chia cho 5 dư 1 nên ta đặt a = 5x + 1 [x ∈ N]
Ta lại có b chia cho 5 dư 4 nên ta đặt b = 5y + 4 [ y ∈ N]
Ta có:
ab + 1 = [5x +1][5y + 4] + 1
= 25xy + 20x + 5y + 4 + 1
= 25xy + 20x + 5y + 5
= 5.[5xy +4x + y + 1] 5 [đpcm]
Bài 13: Chứng minh 2n2[n + 1] - 2n[n2 + n - 3] chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2n2[n + 1] - 2n[n2 + n - 3]
= 2n3 + 2n2 - 2n3 - 2n2 + 6n
= 6n
Bài 14: Chứng minh n[3 – 2n] – [n – 1][1 + 4n] – 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Hướng dẫn giải: chứng minh tương tự bài 13.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.