Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v → .
Các câu hỏi tương tự
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v → = - 1 ; 2 , A 3 ; 5 , B - 1 ; 1 và đường thẳng d có phương trình x – 2 y + 3 = 0 .
a. Tìm tọa độ của các điểm A' , B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vecto v →
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v →
c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v .
Cho vectơ v → đường thẳng d vuông góc với giá của v → . Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v → 2 . Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ v → là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.
Hướng dẫn. Dùng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.
Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v = [3;1] và đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 ο và phép tịnh tiến theo vectơ v.
- Toán lớp 11
- Ngữ văn lớp 11
- Tiếng Anh lớp 11
Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Ta thường kí hiệu phép biến hình thành F và viết F[M] = M” hay M” = F[M], khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong hai mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F[H] là tập các điểm M’ = F[M], với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’, hay H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với điểm M tùy ý thuộc H thì F[M] ∈ H’ và với mỗi M’ thuộc H’ thì có M ∈ H sao cho F[M] = M’.
Phép biến hình biến mỗi đểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
II. PHÉP TỊNH TIẾN
Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ [h.1.1].
Phép tịnh tiến theo thường được kí hiệu là .
Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.
III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M[x; y] và vectơ [a; b]. Gọi điểm M'[x’; y’] = [M].
IV. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Phép tịnh tiến
1] Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
2] Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
3] Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;
4] Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;
5] Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến
1. Phương pháp giải
Dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Giải
Vì = nên phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm A thành điểm D, biến điểm B thành điểm C [h. 1.2]. Để tìm ảnh củạ điểm C ta dựng hình bình hành ADEC.
Khi đó ảnh của điểm C là điểm E. Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ là tam giác DCE.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = [- 2; 3] và đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .
Giải
Cách 1. Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = [-1 ; 0]. Khi đó M’ = [M] = [-1 – 2 ;0 + 3] = [-3 ; 3] thuộc d’. Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng 3x – 5y + C = 0. Do M’ ∈ d’ nên 3[-3] – 5. 3 + C = 0. Từ đó suy ra C = 24. Vậy phương trình của d’ là 3x – 5y + 24 = 0.
y = y’ – 3. Thay vào phương trình của d ta được 3[x’ + 2] – 5[y’ – 3] + 3 = 0, hay 3x’ – 5y’ + 24 = 0. Vậy phương trình của d’ là : 3x-5y + 24 = 0.
Cách 3. Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn [C] có phương trình
Tìm ảnh của [C] qua phép tịnh tiến theo vectơ = [-2 ; 3].
Giải
Cách 1. Dễ thấy [C] là đường tròn tâm I[1; -2], bán kính r = 3. Gọi I’ = [I] = [1 – 2; – 2 + 3] = [-1 ; 1] và [C’] là ảnh của [C] qua thì [C’] là đường tròn tâm /’ bán kính r = 3. Do đó [C’] có phương trình
Thay vào phương trình của [C] ta được
⇔
Do đó [C’] có phương trình :
Vấn đề 2
Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán dựng hình.
1. Phương pháp giải
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép tịnh tiến.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A[-1 ; -1], B[ 3 ; 1], C[2 ; 3]. Um toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải
Xem điểm D[x ; y] là ảnh của điểm c qua phép tịnh tiến theo vectơ = [-4 ; -2]. Từ đó suy ra x = 2- 4 = -2; y = 3 – 2 = 1.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và dị cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d [hay ]. Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên dị để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.
Giải
Xem điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ [h.1.3].
Khi đó điểm M’ vừa thuộc vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ . Từ đó suy ra cách dựng :
- Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
- Dựng M’ = ∩ d’
- Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài.
Vấn đề 3
Dùng phép tịnh tiến để giải một số bải toán tìm tập hợp điểm
1. Phương pháp giải
Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn [O] tâm O, điểm A di động trên đường tròn [O]. Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn [O] thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì = 90°, nên DC // AH [h.1.4]. Tương tự AD // CH. Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành. Từ đó suy ra
= = 2. Ta thấy rằng không đổi, nên có thể xem H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2. Do đó khi điểm A di động trên đường tròn [O] thì H di động trên đường tròn [O‘] là ảnh của [O] qua phép tịnh tiến theo vectơ 2.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = [2 ; -1], điểm M = [3 ; 2]. Tìm toạ độ của các điểm A sao cho :
a] A = [M];
b] M = [A].
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho = [-2 ; 1], đường thẳng d có phương trình
2x – 3y + 3 = 0, đường thẳng có phương trình 2x – 3y – 5 = 0.
a] Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua .
b] Tìm toạ độ của có giá vuông góc với đường thẳng d để là ảnh của d qua .
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.3. Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – ỵ – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc toạ độ và viết phương trình đường thẳng d’.
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C] có phương trình . Tìm ảnh của [C] qua phép tịnh tiến theo vectơ = [-2 ; 5].
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.5. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn [C] tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên [C], rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên [C].
⇒ Xem đáp án tại đây.