1. Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn.
Có: Ai Aj = Ø và A1 A2 . . An = W.
Định nghĩa 2: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra biến cố kia và ngược lại.
Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.
2. Công thức cộng:
P[A+B] = P[A] + P[B] – P[AB], với A và B là hai biến cố bất kỳ.
Tổng quát:
P[A1+A2+ …+An] =
– [-1]n-1P[A1.A2..An]
Cụ thể khi n = 3, có:
P[A1+A2+A3] = P[A1] + P[A2] + P[A3] – P[A1A2] – P[A1A3] – P[A2A3] + P[A1A2A3]
Hệ quả: i] Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P[A+B] = P[A] + P[B]
ii] Nếu A1, A2 , …, An là các biến cố xung khắc từng đôi thì:
P[A1+A2+ .. +An] = P[A1] + P[A2] + . . +P[An]
iii] Nếu A1, A2 , …, An là các biến cố độc lập toàn phần thì:
P[A1+A2+ . . +An] = 1 –
iv] Nếu A1, A2 ,…, An là nhóm các biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi thì
Ví dụ 1: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra.
Gọi A là biến cố không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra
B là biến cố có đúng một phế phẩm.
C là biến cố có không quá một phế phẩm.
Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc và C = A + B
Ta có ,
Do đó:
Ví dụ 2: Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kỳ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó được thêm điểm.
Gọi A là biến cố gọi được sinh viên được tăng điểm.
B là biến cố gọi được sinh viên giỏi ngoại ngữ.
C là biến cố gọi được sinh viên giỏi tin học.
Khi đó A = B + C, với B và C là hai biến cố xung khắc
Ta có: P[A] = P[B + C] = P[B] + P[C] – P[BC]
Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 6 cây bài từ bộ bài có 52 cây bài. Tính xác suất để ít nhất có 2 cây At.
Gọi A là biến cố chọn ít nhất 2 cây At từ 6 cây bài chọn ra.
Ai là biến cố chọn được i cây At từ 6 cây bài chọn ra
Suy ra A = A2 + A3 + A4.
Ta có: Hệ các biến cố xung khắc từng đôi, nên:
Nhận xét: Trong dãy n biến cố A1, A2 , …, An:
+ Nếu từng đôi một các biến cố mà độc lập với nhau thì dãy này gọi là độc lập từng đôi;
+ Nếu dãy độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi nhưng điều ngược lại không đúng.