Chứng minh hai phương trình vô nghiệm toán 9 năm 2024
Bài viết Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung. Show Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung lớp 9 (cực hay)A. Phương pháp giải- Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung - Cách giải: + B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm + B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0 + B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m + B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0 ⇔ 1 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 ⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 - 2x0 + 2 - m = 0 ⇔ (m - 2)x0 = m - 2 Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1 Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*)) Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 - 2mx + 4m = 0(1) và x2 - mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1) Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ m2 - 40m ≥ 0 ⇔ m(m - 40) ≥ 0 ⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*) Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2x0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2x0 vào (1) ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*)) Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2).
Giải
Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2 (*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0 ⇔ x0(1 – a) = (1 – a) (**) Vì a ≤ -2 nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1 Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*)) Vậy với a = -2 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2) Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau: + TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng Trường hợp này xảy ra khi: + TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau Trường hợp này xảy ra khi vô nghiệm + TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau Trường hợp này xảy ra khi ⇒ vô nghiệm Vậy với thì 2 phương trình đã cho tương đương B. Bài tậpCâu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là
Giải Phương trình (1) có nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 1 ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 - 2m - 3 ≥ 0 Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 - (3m + 1)x0 - 4m + 1 - 2m - 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 - 6m = 0 Nếu thì điều kiện (*) trở thành ⇒ không thỏa mãn (*), nghĩa là với thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì Khi thì Thay vào phương trình (1): Xét –m + 1 = 0 ⇔ m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111 < 0 nên vô nghiệm Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án B Câu 2: Số giá trị của m để hai phương trình 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 (1) và 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2) có nghiệm chung là
Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 2)2 - 4.2.12 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 12m - 92 ≥ 0 Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (9m - 2)2 - 4.4.36 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m + 4 - 576 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m - 572 ≥ 0 Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(6m + 4)x0 + (9m - 2)x0 - 12 = 0 ⇔ (3m - 6)x0 - 12 = 0 Nếu m = 2 thì điều kiện (*) trở thành: ⇒ m = 2 không thỏa mãn (*), nghĩa là với m = 2 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ 2 Khi m ≠ 2 thì Thay vào phương trình (1): Xét m = 3( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án B Câu 3: Tổng các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0 (1) và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0 (2) có nghiệm chung là Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4.2.(-9) ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 + 72 ≥ 0,(∀ m ∈ R) Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (7m - 1)2 - 4.6.(-19) ≥ 0 ⇔ (7m-1)2 + 456 ≥ 0,(∀ m ∈ R) ⇒ Với mọi m hai phương trình luôn có nghiệm Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: (9m + 3)x0-(7m-1)x0-27+19=0 ⇔ (2m + 4)x0-8=0(*) Nếu m = -2 thì phương trình (*) vô nghiệm Nghĩa là với m = -2 thì 2 phương trình cùng không có nghiệm chung Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ -2 Khi m ≠ -2 thì Thay vào phương trình (1): Vậy với m = 2, thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án D Câu 4: Tích các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + mx - 1 = 0 (1) và mx2 - x + 2 = 0 (2) có nghiệm chung là
Giải +) TH1: m = 0 thì phương trình (1): 2x2 - 1 = 0 Phương trình (2): -x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ với m = 0 thì hai phương trình không có nghiệm chung +) TH2: m ≠ 0 thì hai phương trình đều là phương trình bậc hai. Khi đó Phương trình (1) có nghiệm khi Δ ≥ 0 m2 + 8 ≥ 0,(∀ m ∈ R) Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/8 ⇒ Với hai phương trình luôn có nghiệm Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Vì m ≠ 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với m, nhân 2 vế của phương trình thứ hai với 2 ta được: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: Thay vào phương trình (1): Xét phương trình m2 – m + 7 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.7 = -27 < 0 nên vô nghiệm Vậy với m = -1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án A Câu 5: Cho hai phương trình x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2), khẳng định nào sau đây là đúng
Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 - 4(m + 5) ≥ 0 ⇔ m2 + 8m + 16 - 4m - 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 4 ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 - 4(m + 1) ≥ 0 ⇔ m2 + 4m + 4-4m - 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R) ⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥ 0(*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2x0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2 Thay vào phương trình (1): Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án A C. Bài tập tự luyệnBài 1. Cho hai phương trình x2 + x – m = 0 và x2 – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
Bài 2. Cho hai phương trình x2 – 2ax + 3 = 0 và x2 – x + a = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
Bài 3. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0. Bài 4. Cho hai phương trình 2x2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x2 – (2m – 3)x – 1 = 0. Số giá trị của m để hai phương trình đó có nghiệm chung? Bài 5. Hãy tìm số giá trị của m để hai phương trình (m + 4)x2 – 2(2m + 9)x – 4 = 0 và x2 – 2(m + 4)x + 8m + 36 = 0 có nghiệm chung? Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |