Coông suất trung bình của tín hiệu phân phối mũ năm 2024

1. Các khái niệm cơ bản về xích Markov 1.1. Một số định nghĩa Nhiều mô hình ngẫu nhiên trong Vận trù học, Kinh tế, Kĩ thuật, Dân số học, Di truyền học,... dựa trên cơ sở là quá trình Markov. Đặc biệt, hiện tại một lĩnh vực mới về Tin − Sinh học [Bioinformatics] chuyên nghiên cứu về gene ứng dụng rất mạnh các vấn đề của lí thuyết các quá trình Markov. Trong ngành Cơ điện hiện nay nhiều chuyên gia lí thuyết và thực hành cũng rất quan tâm tới quá trình Markov nói chung, còng nh− c¸c qu¸tr×nh sinh−tö hay qu¸tr×nh håi phôc nãi riªng. Ví dụ: Xét một hệ thống vật lí tiến triển theo thời gian. Tại thời điểm t = 0, hệ thống có thể rơi vào một trong ba trạng thái [hay vị trí] 1, 2 hoặc 3 một cách ngẫu nhiên. Kí hiệu X[0] là vị trí của hệ thống tại thời điểm t = 0, thì X[0] là một biến ngẫu nhiên, có thể nhận các giá trị 1 hoặc 2 hoặc 3 với các xác suất nhất định. Giả sử rằng căn cứ vào các kết quả quan sát hay nghiên cứu, chúng ta có bảng phân phối xác suất sau cho X[0]: Các giá trị của X[0] 1 2 3 Xác suất tương ứng 0,2 0,5 0,3 Tại các thời điểm tiếp theo, chẳng hạn, t = 1, 2, 3, … vị trí của hệ thống sẽ được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên X[1], X[2], X[3], … với các bảng phân phối xác suất tương ứng. Dựa trên ví dụ này, chúng ta xét định nghĩa sau về quá trình ngẫu nhiên. Định nghĩa 1 Xét một hệ thống vật lí [hay một hệ thống sinh thái, hệ thống dịch vụ,…] tiến triển theo thời gian. Gọi X[t] là vị trí [tình trạng] của hệ tại thời điểm t. Như vậy ứng với mỗi thời điểm t, X[t] chính là một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí [tình trạng] của hệ thống. Quá trình {X[t]} t≥0 được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Tập hợp các vị trí có thể có của hệ gọi là không gian trạng thái. Không gian trạng thái được kí hiệu là S. Trong ví dụ trên, nếu giả sử rằng X[t] chỉ có thể nhận một trong ba giá trị 1, 2, 3 ∀t, thì S = {1, 2, 3}. Giả sử trước thời điểm s, hệ đã ở trạng thái nào đó, còn tại thời điểm s, hệ ở trạng thái i. Chúng ta muốn đánh giá xác suất để tại thời điểm t [t >s], hệ sẽ ở trạng thái j. Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc vào bộ bốn [s, i, t, j], tức là P[X[t] = j/X[s] = i] = p[s, i,

• 1. NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ===== ===== SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ [Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa] Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
• 2. NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Biên soạn : Ths. ĐẶNG HOÀI BẮC
• 3. Xử lý tín hiệu số [DSP: Digital Signal Processing] là môn học đề cập đến các phép xử lý các dãy số để có được các thông tin cần thiết như phân tích, tổng hợp mã hoá, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp với hệ thống. So với xử lý tín hiệu tương tự, xử lý tin hiệu số có nhiều ưu điểm như : - Độ chính xác cao, sao chép trung thực, tin cậy. - Tính bền vững: không chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian - Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính năng phần cứng. - Thời gian thiết kế nhanh, các chip DSP ngày càng hoàn thiện và có độ tích hợp cao. Trong môn học Xử lý số tín hiệu, những nội dung chính được đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý tín hiệu số như biến đổi z, biến đổi Fourier, biến đổi FFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR, IIR và cấu trúc bộ lọc. Tài liệu này được biên soạn phục vụ mục đích hướng dẫn học tập cho sinh viên Đại học hệ Đào tạo từ xa ngành Điện tử Viễn thông và Công nghệ thông tin trong môn học “ Xử lý tín hiệu số” với chủ trương ngắn gọn, nhiều ví dụ, dễ hiểu. Nội dung tài liệu dựa trên giáo trình “Xử lý tín hiệu và lọc số” của tác giả Nguyễn Quốc Trung và một số tài liệu khác chia thành 9 chương: Chương I: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n. Chương II: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền z. Chương III: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số ω. Chương IV: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc ωk. Chương V: Tổng hợp bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn FIR. Chương VI: Tổng hợp bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn IIR. Chương VII: Biến đổi Fourier nhanh - FFT. Chương VIII: Cấu trúc bộ lọc số. Chương IX: Lọc số nhiều nhịp. Ở lần biên soạn đầu tiên, chắc tài liệu còn một số các sơ sót, mong người đọc thông cảm và đóng góp các ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập, trao đổi. Hà Nội, tháng 5 năm 2006 NHÓM BIÊN SOẠN 1
• 4. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến các vấn đề biều diễn tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian rời rạc n, đây là miền biểu diễn tín hiệu sau khi đã lấy mẫu tín hiệu. Để nắm được kiến thức của chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số nội dung chính sau. a. Khái niệm về tín hiệu Về mặt vật lý: tín hiệu là dạng biểu diễn vật lý của thông tin. Ví dụ: - Các tín hiệu ta nghe thấy là do âm thanh phát ra gây nên sự nén dãn áp suất không khí đưa đến tai chúng ta. - Ánh sáng ta nhìn được là do sóng ánh sáng chuyển tải các thông tin về màu sắc, hình khối đến mắt chúng ta. Về mặt toán học: tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số độc lập. Ví dụ: - Tín hiệu âm thanh x[t] là hàm của một biến độc lập trong đó x là hàm t là biến. - Tín hiệu ảnh x[i,j] là hàm của hai biến độc lập i và j. Trong môn học này chúng ta chỉ tập trung nghiên cứu đối với các tín hiệu là hàm của một biến độc lâp. b. Phân loại tín hiệu Các tín hiệu trên thực tế được phân loại như sau: TÍN HIỆU Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương tự Tín hiệu lượng Tín hiệu lấy mẫu Tín hiệu số tử hoá 3
• 5. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n - Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu liên tục. Nhận xét: Tín hiệu liên tục là tín hiệu liên tục theo biến, xét theo hàm hay biên độ ta có tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hoá. + Định nghĩa tín hiệu tương tự: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu tương tự. Nhận xét: Tín hiệu tương tự liên tục theo cả biến và hàm. + Định nghĩa tín hiệu lượng tử hoá: Nếu biên độ của tín hiệu liên tục là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lượng tử hoá. Nhận xét: Tín hiệu lượng tử hoá liên tục theo biến và rời rạc theo biên độ. xa [ t ] xs [ nTs ] Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts nTs xq [ t ] xd [ nTs ] Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts nTs Ts Hình 1.1 Minh hoạ sự phân loại tín hiệu - Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu biến độc lập của biểu diễn toán học của một tín hiệu là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc. Nhận xét: Tín hiệu liên tục là tín hiệu liên tục theo biến, xét theo hàm ta có tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số. + Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục và không bị lượng tử hoá thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu lấy mẫu. Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến. 4
• 6. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n + Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu số. Nhận xét: Tín hiệu số rời rạc theo cả biến và theo cả hàm. Lưu ý: Việc phân loại tín hiệu sẽ là cơ sở để phân loại hệ thống xử lý, chẳng hạn như ta có hệ thống rời rạc hay hệ thống tương tự được phân loại tương ứng với loại tín hiệu mà hệ thống đó xử lý là tín hiệu rời rạc hay tín hiệu tương tự. Các tín hiệu được nghiên cứu trong môn học này, chúng ta chỉ đề cập đến tín hiệu rời rạc do vậy chúng ta cần quan tâm đến định lý lấy mẫu của Shannon. Định lí lấy mẫu: Nếu một tín hiệu tương tự xa [t ] có tần số cao nhất là Fmax = B , được lấy mẫu tại tốc độ Fs > 2 Fmax ≡ 2 B , thì xa [t ] có thể được phục hồi một cách chính xác từ giá trị các mẫu của nó nhờ hàm nội suy. Khi Fs=Fmax = 2B ta gọi Fs lúc này là tần số lấy mẫu Nyquist, Ký hiệu là FNyquist hay FN. Sau khi đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về tín hiệu như trên, chúng ta sẽ nghiên cứu các kiến thức của môn học “Xử lý tín hiệu số” bắt đầu việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền n ở chương I này. Những nội dung kiến thức được đề cập trong chương I bao gồm: - Biểu diễn tín hiệu - Các tín hiệu cơ bản - Hệ thống tuyến tính bất biến. - Phép chập [Convolution]. - Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến. - Phép tương quan [Correlation]. NỘI DUNG 1.1. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC 1.1.1. Các cách biểu diễn tín hiệu rời rạc Trước khi biểu diễn ta có thể chuẩn hoá x[nTs] như sau Ts =1 X [nTs ] ⎯⎯⎯ x[n] tức là chuẩn hóa Ts =1. → a. Biểu diễn theo toán học Biểu thức toán học N1 ≤ n ≤ N 2 x[n] = 0 n≠ Ví dụ 1.1: Ta có thể biểu diễn tín hiệu 5
• 7. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ⎧ n ⎪1 − 0≤n≤4 x[n] = ⎨ 4 ⎪ 0 ⎩ n≠ Ở đây ta thấy: x[0]=1; x[1]=3/4; x[2]=1/2; x[3]=1/4; x[4]=0. b. Biểu diễn bằng đồ thị Cách biểu diễn này cho ta cách nhìn trực quan về một tín hiệu rời rạc. Ví dụ 1.2 Với tín hiệu như ở ví dụ 1.1, ta có thể biểu diễn bằng đồ thị như sau: 1 3/4 1/2 1/4 Hình 1.2 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị c. Biểu diễn bằng dãy số { } x [ n ] = ..., x [ n − 1] , x [ n ] , x [ n + 1] ,... 0 Lưu ý ở đây, ta phải có mốc đánh dấu 0 để thể hiện thời điểm gốc. Do cách biểu diễn này, ta còn gọi tín hiệu rời rạc là dãy Ví dụ 1.3: Biểu diễn bằng dãy số tín hiệu trong ví dụ 1.1 và 1.2: ⎧ 3 1 1⎫ x [ n ] = ⎨1, , , ⎬ ⎩0 4 2 4 ⎭ Ta thấy, cả ba ví dụ trên đều biểu diễn một tín hiệu theo ba cách khác nhau. 1.1.2. Một số dãy cơ bản [Tín hiệu rời rạc cơ bản] a. Dãy xung đơn vị: Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau: ⎧1 n=0 δ [ n] = ⎨ [1.1] ⎩0 n≠ 6
• 8. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n δ [n] 1 -1 0 1 n Hình 1.3 Dãy xung đơn vị δ [ n ] Ví dụ 1.4: Hãy biểu diễn dãy δ [ n − 1] δ [ n − 1] 1 -1 0 1 2 3 n Hình 1.4 Dãy xung δ [ n − 1] b. Dãy nhảy đơn vị Trong miền n, dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau: ⎧1 n ≥ 0 u [ n] = ⎨ [1.2] ⎩0 n≠ Hình 1.5 Dãy nhảy đơn vị u[n] Ví dụ 1.5 ⎧1 n ≥ −3 Hãy biểu diễn dãy u [ n + 3] = ⎨ ⎩0 n < −3 7
• 9. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hình 1.6 Dãy u[n+3] c. Dãy chữ nhật: Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau: ⎧1 0 ≤ n ≤ N − 1 rect N [ n ] = ⎨ [1.3] ⎩0 n còn lai rectN [ n] Hình 1.7 Dãy chữ nhật rectN[n] Ví dụ 1.6: Hãy biểu diễn dãy rect3[n-2] ⎧1 0 ≤ n − 2 ≤ 2 rect3 [ n − 2 ] = ⎨ ⎩0 n còn lai rect3 [ n − 2 ] Hình 1.8 Dãy chữ nhật rect3[n-2] d. Dãy dốc đơn vị: Trong miền n, dãy dốc đơn vị được định nghĩa như sau: 8
• 10. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ⎧n n≥0 r [ n] = ⎨ [1.4] ⎩0 n còn lai Hình 1.9 Dãy dốc đơn vị r[n] Ví dụ 1.7 Hãy biểu diễn dãy r[n-1]. ⎧ n − 1 n − 1 ≥ 0 [ n ≥ 1] r [ n − 1] = ⎨ ⎩ 0 n còn lai Hình 1.10 Dãy dốc đơn vị r[n-1] e. Dãy hàm mũ: Trong miền n, dãy hàm mũ được định nghĩa như sau: ⎧a n n≥0 e [n] = ⎨ [1.5] ⎩ 0 n còn lai Ví dụ 1.8: Hãy biểu diễn e[n] với 0 ≤ a ≤ 1. Hình 1.11 Dãy hàm mũ e[n] 9
• 11. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.1.3. Một số định nghĩa a. Dãy tuần hoàn: Ta nói rằng một dãy x[n] là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa mãn điều kiện sau đây: x[n] = x [n + N]= x [n + lN] l: số nguyên; N: chu kỳ Khi cần nhấn mạnh tính tuần hoàn, người ta ký hiệu dấu ~ phía trên. Ký hiệu: x [ n ] N . Ví dụ 1.9 Biểu diễn dãy tuần hoàn x [ n ] với N = 4. Hình 1.12 Dãy tuần hoàn x [ n ]4 b. Dãy có chiều dài hữu hạn: Một dãy được xác định với số hữu hạn N mẫu ta gọi là dãy có chiều dài hữu hạn với N là chiều dài của dãy. L: Toán tử chiều dài L[x[n]] = [0, 3] = 4 Hình 1.13 Dãy có chiều dài hữu hạn c. Năng lượng của dãy: Năng lượng của một dãy x[n] được định nghĩa như sau: ∞ ∑ x [ n] 2 Ex = [1.6] n =−∞ Ví dụ 1.10 10
• 12. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Tìm năng lượng của 3 dãy x1 [ n ] = δ [ n ] x2 [ n ] = rect N [ n ] x3 [ n ] = u [ n ] Giải: ∞ ∑ δ [ n] 2 Ex1 = =1 Dãy có năng lượng hữu hạn n =−∞ ∞ ∑ rect N [ n ] = N 2 Ex2 = Dãy có năng lượng hữu hạn n =−∞ ∞ ∑ u [n] 2 Ex3 = =∞ Dãy có năng lượng vô hạn [không tồn tại thực tế] n =−∞ d. Công suất trung bình của một tín hiệu Công suất trung bình của một tín hiệu x[n] được định nghĩa như sau: N P = lim 1 N →∞ 2N + 1 ∑ n=−N x[n ] 2 [1.7] Nếu ta định nghĩa năng lượng của tín hiệu x[n ] trong một khoảng hữu hạn − N ≤ n ≤ N là: N EN = ∑ n=−N x [n ] 2 [1.8] Thì có thể biễu diễn năng lượng tín hiệu E như sau: E ≡ lim E N [1.9] N →∞ và công suất trung bình của tín hiệu x[n] là 1 P ≡ lim EN [1.10] N →∞ 2 N + 1 Như vậy, nếu E là hữu hạn thì P = 0 . Mặt khác, nếu E là vô hạn thì công suất trung bình P có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu P là hữu hạn [và không zero] thì tín hiệu gọi là tín hiệu công suất. e. Tổng của 2 dãy: Tổng của 2 dãy nhận được bằng cách cộng từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 1.11 11
• 13. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hãy thực hiện x3 [ n ] = x1 [ n ] + x2 [ n ] x1 [ n ] x2 [ n ] x3 [ n ] Hình 1.14 Tổng của hai dãy f. Tích của 2 dãy: Tích của 2 dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. Ví dụ 1.12 Hãy thực hiện x3 [ n ] = x1 [ n ] .x2 [ n ] 12
• 14. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n x1 [ n ] x2 [ n ] x3 [ n ] Hình 1.15 Tích của hai dãy g. Tích của một dãy với hằng số: Tích của một dãy với các hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với hằng số đó. Ví dụ 1.13 x2 [ n ] = α .x1 [ n ] , α là hằng số giả sử cho bằng 2 ta có: x1 [ n ] x2 [ n ] Hình 1.16 Tích của dãy với hằng số 2 h. Trễ: Ta nói rằng dãy x2 [ n ] là dãy lặp lại trễ của dãy x1 [ n ] nếu có quan hệ sau đây: x2 [ n ] = x1 [ n − n0 ] n0 : nguyên Ví dụ 1.14 13
• 15. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Biểu diễn tín hiệu x[n] được mô tả như sau: 3 1 1 x [ n ] = δ [ n ] + δ [ n − 1] + δ [ n − 2 ] + δ [ n − 3 ] 4 2 4 Giải: Ta biểu diễn lần lượt các thành phần trong mô tả trên, sau đó thực hiện phép cộng như minh họa dưới đây để xác định x[n]. δ [ n] 3 δ [ n − 1] 4 1 δ [ n − 2] 2 1 δ [ n − 3] 4 ⎧ n ⎪1− 0≤n≤4 x [ n] = ⎨ 4 ⎪0 ⎩ n≠ Hình 1.17 Minh hoạ x[n] trong ví dụ 1.14 Từ ví dụ 1.14, ta thấy rằng: Một dãy x[n] bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng sau đây: ∞ x [ n] = ∑ x [ k ] .δ [ n − k ] k =−∞ [1.11] 14
• 16. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Trong đó ta chú ý x[k] là giá trị x[n] tại thời điểm n = k, do vậy về mặt bản chất x[k] và x[n] khác nhau [n là biến thời gian rời rạc, k là chỉ số], nhưng về mặt thể hiện x[n] và x[k] là như nhau. 1.2. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 1.2.1. Các hệ thống tuyến tính a. Một số khái niệm Kích thích và đáp ứng: + Dãy vào của hệ thống được gọi là kích thích + Dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát. Toán tử T: + Một hệ thống tuyến tính đặc trưng bởi toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra. T ⎡ x [ n ]⎤ = y [ n ] ⎣ ⎦ [1.12] x [ n ] ⎯⎯ y [ n ] T → b. Hệ thống tuyến tính: Đối với các hệ thống tuyến tính toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây: T ⎡ a.x1 [ n ] + b.x2 [ n ] ⎤ = a.T ⎡ x1 [ n ] ⎤ + b.T ⎡ x2 [ n ] ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = a. y1 [ n ] + b. y2 [ n ] [1.13] c. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính: ∞ Trong [1.11] ta có biểu diễn của tín hiệu đầu vào x [ n ] = ∑ x [ k ] .δ [ n − k ] k =−∞ Thực hiện biến đổi theo toán tử T ta xác định y[n] ⎡ ∞ ⎤ ∞ y [ n ] = T ⎡ x [ n ] ⎤ = T ⎢ ∑ x [ k ] .δ [ n − k ] ⎥ = ∑ x [ k ] .T ⎡δ [ n − k ] ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ k =−∞ ⎦ k =−∞ ∞ y [ n] = ∑ x [ k ] .h [ n ] k =−∞ k [1.14] 15
• 17. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n hk [ n ] = T ⎡δ [ n − k ] ⎤ được gọi là đáp ứng xung. ⎣ ⎦ [1.15] Đáp ứng xung hk [ n ] đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống thay cho toán tử T. 1.2.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến a. Định nghĩa: Nếu ta có y[n] là đáp ứng với kích thích x[n] thì hệ thống được gọi là bất biến nếu y[n - k] là đáp ứng ứng với kích thích x[n - k]. b. Phép chập: δ [n ] y [ n ] = T ⎡δ [ n ] ⎤ = h [ n ] ⎣ ⎦ δ [n − k ] T ⎡δ [ n − h ] ⎤ = h [ n − k ] ⎣ ⎦ ∞ y [ n] = ∑ x [ k ] .h [ n − k ] k =−∞ [1.16] y [ n] = x [ n] * h [ n] [1.17] Ở đây h[n] được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến [TTBB] Dấu hoa thị [*] ký hiệu phép chập. h [n] Như vậy, đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến [TTBB] sẽ bằng dãy vào chập với đáp ứng xung. Phương pháp tính phép chập Về nguyên tắc chúng ta phải tính y[n] = x[n] * h[n] theo cách tìm từng giá trị y[n] ứng với từng giá trị n cụ thể từ n = - ∞ đến n = ∞. ∞ y [ n] = ∑ x [ k ] .h [ n − k ] k =−∞ [n: -∞ → ∞] ∞ n=0 ⇒ y [ 0] = ∑ x [ k ] .h [ 0 − k ] k =−∞ ∞ n=1 ⇒ y [1] = ∑ x [ k ] .h [1 − k ] k =−∞ n=2 ..... Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính đến giá trị n = ∞. Đối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt 16
• 18. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n ∞ n = -1 ⇒ y [ −1] = ∑ x [ k ] .h [ −1 − k ] k =−∞ n = -2 và phải tính đến giá trị n = - ∞ Tập hợp các giá trị tìm được ta có kết quả phép chập y[n] cần tìm. Để dễ dàng trong việc tính toán người ta đưa ra nhiều phương pháp tính phép châp trong đó có phương pháp đồ thị như sau: Các bước tính phép chập bằng đồ thị: Bước 1: Đổi biến n thành biến k, x[n] -> x[k], h[n] -> h[k], cố định h[k] Bước 2: Quay h[k] đối xứng qua trục tung để thu được h[-k], tức h[0-k] ứng với n=0. Bước 3: Dịch chuyển h[-k] theo từng giáa trị n, nếu n>0 dịch chuyển về bên phải, nếu n n0. Định lý: Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả phải bằng 0 với n < 0 [h[n] = 0 với mọi n 0 được gọi là hệ thống đệ qui. Nhận xét: + Đầu ra phụ thuộc y [ n ] = F ⎡ x [ n ] , x [ n − 1] ,..., x [ n − M ] , y [ n − 1] , y [ n − 2 ] ,..., y [ n − N ] ⎤ ⎣ ⎦ Trong trường hợp này đầu ra [đáp ứng hệ thống] không những chỉ phụ thuộc vào đầu vào ở các thời điểm hiện tại và quá khứ, mà còn phụ thuộc vào đầu ra ở các thời điểm quá khứ. Chẳng hạn ta xem xét hệ thống được biểu diễn theo phương trình sai phân sau: y [ n ] = Ay [ n − 1] + x [ n ] , N = 1: phương trình bậc nhất. Như trên ta đã có, giải phương trình trên ta được: ⎧ An n≥0 h [n] = ⎨ ⎩0 n< 0 L ⎡ h [ n ] ⎤ = ∞ , đáp ứng xung của hệ thống có chiều dài vô hạn, do vậy hệ thống này [hệ ⎣ ⎦ thống đệ qui] còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR. [Infinite-Duration Impulse Response] Xét ổn định: 1 S= 1− A + Hệ thống đệ qui ổn định khi tham số A < 1 + Hệ thống này không ổn định nếu tham số A ≥ 1 Như vậy hệ thống đệ quy có thể ổn định hoặc không ổn định. Khi xét hệ thống đệ quy, ta phải xét tính ổn định hệ thống. 27
• 29. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.4.3. Hệ thống đệ qui thuần túy N > 0, M = 0: ta có hệ thống đệ qui thuần túy N a0 = 1 : y [ n ] = b0 x [ n ] − ∑ ak y [ n − k ] k =1 N=1>0, M=0, a0 = 1 có: y [ n ] = Ay [ n − 1] + x [ n ] Định nghĩa: Một hệ thống tuyến tính bất biến được mô tả bởi phương trình sai phân bậc N>0 và M= 0 được gọi là hệ thống đệ qui thuần túy [trường hợp riêng của hệ thống đệ qui]. 1.5. THỰC HIỆN HỆ THỐNG 1.5.1. Các phần tử thực hiện Có 3 phần tử chính để thực hiện hệ thống trong miền rời rạc như sau: + Phần tử trễ: + Phần tử cộng: x1 [ n ] x2 [ n ] L ∑ x [ n] i xL [ n ] i =1 + Phần tử nhân: x1 [ n ] x2 [ n ] L ∏ x [ n] i xL [ n ] i =1 1.5.2. Thực hiện hệ thống Từ các phần tử trên ta sẽ mô tả các hệ thống đệ quy, không đệ quy, đệ quy thuần tuý như sau: Hệ thống không đệ qui: M M y [ n ] = ∑ br x [ n − r ] = b0 x [ n ] + ∑ br x [ n − r ] r =0 r =1 28
• 30. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n M ∑ b x [ n − r ] = F ⎡ x [ n − 1] ,..., x [ n − M ]⎤ r =1 r ⎣ 1 ⎦ b0 b0 x [ n ] F1 ⎡ x [ n −1] ,..., x [ n − M ] ⎤ ⎣ ⎦ Hệ thống đệ qui: M N y [ n ] = b0 x [ n ] + ∑ br x [ n − r ] + ∑ [ −ak ] y [ n − k ] r =1 k =1 M ∑ b x [ n − r ] = F ⎡ x [ n − 1] ,..., x [ n − M ]⎤ r =1 r ⎣ 1 ⎦ N ∑ [ −a ] y [ n − k ] = F k =1 k 2 ⎡ y [ n − 1] ,..., y [ n − N ] ⎤ ⎣ ⎦ b0 b0 x [ n ] F1 ⎡ x [ n −1] ,..., x [ n − M ] ⎤ ⎣ ⎦ F2 ⎡ y [ n −1] ,..., y [ n − N ] ⎤ ⎣ ⎦ Hệ thống đệ qui thuần túy: N y [ n ] = b0 x [ n ] + ∑ [ − ak ] y [ n − k ] k =1 b0 b0 x [ n ] F2 ⎡ y [ n −1] ,..., y [ n − N ] ⎤ ⎣ ⎦ Ví dụ 1.20 29
• 31. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Hãy biểu diễn HTTTBB được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: 3 3 y [ n ] = b0 x [ n ] + ∑ br x [ n − r ] + ∑ [ −ak ] y [ n − k ] r =1 k =1 Giải: Dùng các phần tử thực hiện hệ thống ta có sơ đồ cấu trúc như sau: b0 b0 x [ n] b1 b1 x [ n −1] −a1 b2 b2 x [ n − 2] −a2 b3 b3 x [ n − 3] −a3 Hình 1.20 Sơ đồ hệ thống trong ví dụ 1.20 Khi thực hiện các hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phần cứng, ta sẽ thực hiện bằng các thanh ghi dịch, bộ nhớ và các bộ xử lý toán học như sau b 0 b1 b 2 bM − a0 − a1 −a2 −aN br ak Hình 1.21 Sơ đồ thực hiện hệ thống. 30
• 32. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n 1.6. TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU Phép tương quan thường dùng để so sánh nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu với nhiễu, phát hiện vật thể... rất hay dùng khi xử lý các tín hiệu Radar dùng trong quân sự, có hai loại tương quan: Tương quan chéo [cross – correlation]: Tương quan chéo giữa tín hiệu x[n] với y[n] [một trong hai tín hiệu phải có năng lượng hữu hạn] được định nghĩa như sau: +∞ R xy [n] = ∑ x[m].y[m − n] m =−∞ [1.34] Tự tương quan [auto – correlation]: Trong phép tương quan chéo khi x[n] ≡ y[n] ta có phép tự tương quan của tín hiệu x[n] với chính nó và được định nghĩa như sau: +∞ R xx [n] = ∑ x[m].x[m − n] m =−∞ [1.35] Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu cách thực hiện phép tương quan thông qua ví dụ 1.21. Ví dụ 1.21 Hãy xác định chuỗi tương quan chéo Rxy [ n ] của các chuỗi ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ x[n] = ⎨..., 0, 0, 2, − 1, 3, 7, 1, 2, − 3, 0, 0,....⎬ → ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ y [n] = ⎨..., 0, 0, 1, − 1, 2, − 2, 4, 1, − 2, 5, 0, 0,....⎬ → ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭ Giải : Ta dùng định nghĩa [1.34] để tính Rxy [ n ] . - Đối với n = 0 , ta có ∞ Rxy [0] = ∑ x [ m] y [ m] n =−∞ Rxy [ 0 ] = 7 - Đối với n > 0 , ta dịch y[n] sang phải n đơn vị so với x [ m ] , tính tích x [ m ] y [ m − n ] và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích. Kết quả ta có 31
• 33. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Rxy [1] = 13 Rxy [ 2 ] = −18 Rxy [ 3] = 16 Rxy [ 4 ] = −7 Rxy [ 5 ] = 5 Rxy [ 6 ] = −3 Rxy [ n ] = 0 n≥7 - Đối với n < 0 , ta dịch y[n ] sang trái n đơn vị so với x [ m ] , tính tích x [ m ] y [ m − n ] và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích. Kết quả ta có: Rxy [ −1] = 0 Rxy [ −2 ] = 33 Rxy [ −3] = −14 Rxy [ −4 ] = 36 Rxy [ −5 ] = 19 Rxy [ −6 ] = −9 Rxy [ −7 ] = 10 Rxy [ n ] = 0, n ≤ −8 Bởi vậy, chuỗi tương quan chéo của x[n ] và y[n ] là ⎧ ⎪ ⎫ ⎪ Rxy [ n ] = ⎨10, − 9,19,36, − 14,33, 0, 7,13, − 18,16, − 7,5, − 3⎬ → ⎪ ⎩ 0 ⎪ ⎭ TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 1 Chương 1 là chương đề cập đến các khái niệm cơ bản nhất về tín hiệu rời rạc, hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc, các biểu diễn cơ bản, các phép toán cơ bản, tất nhiên tất cả các vấn đề được đề cập trong chương này đều được xét ở miền thời gian rời rạc. Những vấn đề chính được đề cập trong chương này cần lưu ý là: 1. Định lý lấy mẫu Ta chú ý rằng một tín hiệu sẽ được khôi phục khi tần số lấy mẫu phải lớn hơn hoặc bằng hai lần bề rộng phổ của tín hiệu. Fs ≥ 2B [B=Fmax] 2. Phân loại tín hiệu, hệ thống xử lý tín hiệu. Theo định nghĩa về mặt toán học, tín hiệu bao gồm tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc. Tín hiệu liên tục bao gồm tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hoá. Tín hiệu rời rạc bao gồm tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số. Các hệ thống xử lý tín hiệu được phân loại theo tín hiệu xuất hiện trong hệ. Ví dụ: các tín hiệu trong hệ thống là tín hiệu số thì hệ thống đó gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số. Chú ý: Phân biệt khái niệm xử lý tín hiệu số và xử lý số tín hiệu. 3. Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc. Lưu ý khi biểu diễn tín hiệu người ta thường chuẩn hoá chu kỳ lấy mẫu Ts = 1. Tức là x[nTs] = x[n]. Có 3 cách biểu diễn tín hiệu: - Biểu diễn bằng biểu thức toán học. - Biểu diễn bằng đồ thị. 32
• 34. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n - Biểu diễn bằng dãy số. Còn một cách biểu diễn nữa rất quan trọng chúng ta cần phải nhớ đó là một tín hiệu bất kỳ x[n] đều được biểu diễn thông qua đáp ứng xung dạng tổng quát như sau: ∞ x [ n] = ∑ x [ k ] .δ [ n − k ] k =−∞ 4. Các tín hiệu [dãy] cơ bản Các dãy cơ bản cần nhớ bao gồm: - Dãy xung đơn vị δ [n] - Dãy nhảy đơn vị u[n] - Dãy chữ nhật rectN[n] - Dãy dốc đơn vị r[n] - Dãy hàm mũ e[n] Có thể xem thêm dãy tuần hoàn. 5. Các phép toán cơ bản Các phép toán cơ bản cần nhớ bao gồm: - Phép cộng, phép nhân hai tín hiệu. - Phép nhân một tín hiệu với hằng số. - Phép trễ tín hiệu. 6. Các khái niệm cơ bản Một số khái niệm cơ bản bao gồm: - Dãy tuần hoàn x [ n ] N - Dãy có chiều dài hữu hạn N. - Năng lượng của dãy. - Công suất của dãy. 7. Hệ thống tuyến tính bất biến [TTBB]. Đáp ứng xung h[n] - Cần lưu ý hệ thống tuyến tính bắt buộc phải thoả mãn nguyên lý xếp chồng: T[a.x1[n] + b.x2[n]] = a.T[x1[n]] + b.T[x2[n]]. - Hệ thống tuyến tính bất biến: ứng với kích thích đầu vào x[n] ta có đáp ứng ra là y[n] thì tương tự ứng với kích thích đầu vào x[n-k] ta có đáp ứng ra là y[n-k]. - Khi ta có đầu vào hệ thống tuyến tính bất biến là xung đơn vị δ [n] thì đầu ra là đáp ứng xung h[n]. Đáp ứng xung h[n] là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống tuyến tính bất biến. 8. Phép chập 33
• 35. diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian rời rạc n Đây là phép toán quan trọng nhất trong xử lý tín hiệu để xác định đầu ra y[n] hệ thống khi biết đầu vào x[n] và đáp ứng xung h[n]. ∞ y [ n] = ∑ x [ k ] .h [ n − k ] k =−∞ phép chập có tính chất: giao hoán, phân phối, kết hợp. 9. Hệ thống TTBB nhân quả, tín hiệu nhân quả. Hệ thống TTBB được gọi là hệ thống nhân quả khi đáp ứng xung h[n] của nó thoả mãn h[n] = 0 với ∀ n