Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng 60o
a] Thể tích hình chóp S.CDNM
b] Tính khoảng cách giữa DM và SC.
Lời giải chi tiết
a] Xét các hình vuông ABCD.
Ta có hai tam giác vuông ADM và DCN bằng nhau [h-c-g-v] nên DMA = CND.
Mà \[\widehat {CND} + \widehat {CNA} = {180^0}\] \[ \Rightarrow \widehat {DMA} + \widehat {CNA} = {180^0}\]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác ANHM nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {MAN} + \widehat {MHN} = {180^0}\] \[ \Rightarrow \widehat {MHN} = {180^0} - \widehat {MAN}\] \[ = {180^0} - {90^0} = {90^0}\]
Từ đó suy ra DM CN. Trong tam giác vuông CDN ta có:
CD2= CH.CN CH = 2a/5
Suy ra SH = CH.tan60o=\[ = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\]
SCDNM= SABCD- SAMN- SBCM \[ = {a^2} - \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} - \frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{5{a^2}}}{8}\]
VS.CDNM\[ = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\] \[ = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\]
b] Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ H lên SC
Vì MD [SCN], MD [SCN] = H nên
d[MD, SC] = d[H, SC] = HI = HC.sin60o=\[\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\].