Đề bài
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng [ABC], lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.
a] Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b] Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng [SBC] tạo với mặt phẳng [ABC] một góc bằng 300.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các đều các đỉnh.
b] Tính toán dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
Lời giải chi tiết
a] Gọi I là trung điểm của cạnh AB.
Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [ABC] tại I.
Ta suy ra d // d. Do đó d cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.
b] Trường hợp mặt phẳng [SBC] tạo với mặt phẳng [ABC] một góc 300thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc \[\widehat {SCA}\].
Thật vậy, vì \[SA \bot [ABC]\] mà \[AC \bot CB\]nên ta có \[SC \bot CB\]. Do đó \[\widehat {SCA} = {30^0}\].
Vì AB = 2a nên ta có \[AC = a\sqrt 2 \]ta suy ra \[SA = AC.\tan {30^0} = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 3} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\].
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi \[\widehat {SCA} = {30^0}\].
Ta có \[r = {{SB} \over 2} = OA = OB = OC = {\rm{OS}}\], trong đó SB2= SA2+ AB2
Vậy \[S{B^2} = {{6{a^2}} \over 9} + 4{a^2} = {{42{a^2}} \over 9}\].
Do đó, \[SB = {{a\sqrt {42} } \over 3}\]
Ta suy ra \[r = {{SB} \over 2} = {{a\sqrt {42} } \over 6}\].