Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian
Câu hỏi 2 trang 84 Toán 12 Hình học Bài 3 :
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số
Hãy tìm tọa độ của một điểm M trên Δ và tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Đường thẳng
1 điểm M thuộc Δ là: M [-1; 3; 5] và 1 vecto chỉ phương của Δ là
- Giải Toán 12: Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit . Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 84, 85 SGK Giải tích 12. Giải các phương trình mũ; Giải các phương trình logarit
Bài 1: Giải các phương trình mũ:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x – 2}} = 1\];
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}\]= 25;
c] \[2^{x^{2}-3x+2}\] = 4;
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 – 2x}} = 2\].
Giải:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x – 2}} = 1 ={\left[ {0,3} \right]^0} \Leftrightarrow 3x – 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\].
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}= 25 ⇔{5^{ – x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = – 2\].
c] \[2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} – 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\].
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 – 2x}} = 2 ⇔ \left [ \frac{1}{2} \right ]^{x+7+1-2x}= 2\] \[⇔ 2^{x – 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x – 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\].
Bài 2: Giải các phương trình mũ:
a] \[{3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\];
b] \[{2^{x + 1}} + {2^{x – 1}} + {2^x} = 28\];
c] \[{64^x}-{8^x}-56 =0\];
d] \[{3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\].
a] Đặt \[t ={3^{2x-1}} > 0\] thì phương trình đã cho trở thành \[t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\].
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\[{3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\].
b] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\], phương trình đã cho trở thành \[4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\].
Phương trình đã cho tương đương với
\[{2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} – {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} – 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\].
c] Đặt \[t = 8^x> 0\]. Phương trình đã cho trở thành
\[{t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} – 7\text{ [loại]}\].
Vậy phương trình đã cho tương đương với \[8^x= 8 ⇔ x = 1\].
d] Chia hai vế phương trình cho \[9^x> 0\] ta được phương trình tương đương
\[3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\] – 2.\[\frac{6^{x}}{9^{x}}\] = 1 ⇔ 3. \[\left [ \frac{4}{9} \right ]^{x}\] – 2.\[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x} – 1 = 0\].
Đặt \[t = \left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}\] > 0, phương trình trên trở thành
\[3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\]; \[t = -\frac{1}{3}\][ loại].
Vậy phương trình tương đương với \[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}= 1 ⇔ x = 0\].
Bài 3: Giải các phương trình logarit
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\]
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\]
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\] [1]
TXD: \[D = \left[ {{{ – 3} \over 5}, + \infty } \right]\]
Khi đó: [1] \[⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\] [loại]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
TXD: \[D = [{{11} \over 2}, + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [2] \Leftrightarrow \lg {{x – 1} \over {2x – 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x – 1} \over {2x – 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x – 1 = 4x – 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \]
Ta thấy \[x = 7\] thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 7\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\] [3]
TXD: \[[5, +∞]\]
Khi đó:
[3]\[ \Leftrightarrow {\log _2}[x – 5][x + 2]=3\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x – 5} \right][x + 2] = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} – 3x – 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr
x = – 3 \hfill \cr} \right.\]
Loại \[x = -3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 6\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\] [4]
TXD: \[D = [3 + \sqrt 2 , + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [4] \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 7 = x – 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Loại \[x = 2\]
Vậy phương trình [4] có nghiệm là \[x = 5\].
Bài 4: Giải các phương trình lôgarit:
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\]
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = \log 5{\rm{x}} – \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} + x – 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x – 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
x = – 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 8{\rm{x}} – \log 4{\rm{x}}\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} – 4{\rm{x}} – 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 – \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} – 4{\rm{x}} – 1} \right] = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 1 = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} – 4{\rm{x}} – 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = – 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\]
\[\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 8\]