Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có đáp án

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
2. B T PHƯƠNG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I Tr n Văn Toàn, Trư ng THPT chuyên Lương Th Vinh, Biên Hoà, Đ ng Nai. Ngày 7 tháng 1 năm 2009 Tóm t t n i dung B t phương trình có ch a d u giá tr tuy t đ i đư c h c trong chương trình Toán Trung h c ph thông. Tuy nhiên, trong chương trình hi n hành, cũng ch đưa ra m t vài bài toán nh mà phương pháp gi i ch y u là dùng đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i ho c xét d u c a bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i đ sao cho b t phương trình đang xét không còn ch a d u giá tr tuy t đ i n a. L y ý tư ng chính t m t bài vi t trong [1], tôi vi t đ tài này v i m c đích là đưa thêm m t cách gi i n a, ch y u là tránh vi c xét d u bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i, mà công vi c xét d u này đôi khi th t s không đơn gi n. 1 Các b t phương trình cơ b n Sách Giáo viên Đ i s l p 10 c a Nhà xu t b n Giáo d c, xu t b n năm 2006, trang 107 có ch ng minh r ng n u a là m t s th c b t kì thì ta có 1. |f [x]| a ⇔ −a f [x] a. f [ x] a 2. |f [x]| a⇔ −a f [ x] 1. Th t v y, xét b t phương trình |f [x]| a. • N ua 0, ta có |f [x]| a ⇔ −a f [x] a. • N u a < 0, các b t phương trình |f [x]| a và −a f [x] a đ u vô nghi m. • Trư ng h p b t phương trình |f [x]| a ch ng minh tương t . 2. Bây gi , ta xét các b t phương trình |f [x]| g [x] và −g [x] f [x] g [x]. G i D là t p xác đ nh c a b t phương trình |f [x]| g [x] [Khi đó, D cũng là t p xác đ nh c a b t phương trình −g [x] f [x] g [x]]. Gi s có s x0 ∈ D tho b t phương trình |f [x]| g [x], t c là |f [x0 ]| g [x0 ]. [1.1] 1
3. Ta ch xét trư ng h p g [x0 ] 0. • N u f [x0 ] 0, thì |f [x0 ]| = f [x0 ] và b t phương trình [1.1] tr thành f [ x0 ] g [x0 ]. [1.2] M t khác, vì f [x0 ] 0 và g [x0 ] 0, nên −g [x0 ]. f [ x0 ] [1.3] T [1.2] và [1.3] suy ra −g [x0 ] f [ x0 ] g [x0 ]. Hay x0 cũng tho − g [ x] f [x] g [x]. • Trư ng h p f [x0 ] < 0. Khi đó, |f [x0 ]| = −f [x0 ] và [1.1] tr thành −f [x0 ] g [x0 ]. Do v y, ta có [1.3]. M t khác, vì f [x0 ] < 0 và g [x0 ] 0, nên có [1.2]. Do đó, ta cũng có −g [x0 ] f [ x0 ] g [x0 ]. [Cũng có th nh n xét r ng, n u |f [x0 ]| 0, thì −g [x0 ] g [x0 ], g [x0 f [ x0 ] g [x0 ].] • Trái l i, n u có x0 tho −g [x0 ] g [x0 ], ta cũng có |f [x0 ]| < g [x0 ]. f [ x0 ] V y ta có |f [x]| g [x] ⇔ −g [x] f [x] g [x]. Ch ng minh tương t , ta có các k t qu như sau: f [x] < g [x], 1. |f [x]| < g [x] ⇔ f [x] < −g [x]; f [x] g [x], 2. |f [x]| g [ x] ⇔ −g [x]; f [x] f [x] > g [x] 3. |f [x]| > g [x] ⇔ f [x] > −g [x] Ta có th vi t các b t phương trình d ng trên dư i d ng sau:  f g, f < g, 3. |f | g ⇔ 1. |f | < g ⇔ −f g ; −f < g ;  f g, f > g, 2. |f | g⇔ 4. |f | > g ⇔ − f g; −f > g. 2
4. Cũng t các k t qu trên, ta có f [x] g [x] h[x] |g [x]| h[x] ⇔ f [x] −g [x] h[x] f [x] Ví d 1.1. Gi i b t phương trình |x − 6| < x2 − 5x + 9. [1.4] L i i. B t phuong trình [1.4] tương đương v i h gi  x − 6 < x2 − 5x + 9, x2 − 6x + 15 > 0, ⇔ ⇔ x ∈ [−∞; 1] ∪ [3; +∞]. J −[x − 6] < x2 − 5x + 9 x2 − 4x + 3 > 0 Ví d 1.2. Gi i b t phương trình |x2 − 2x − 8| > 2x. [1.5] L i gi i. √ x2 − 2x − 8 > 2x, x2 − 4x − 8 > 0, x < 2 2, √ [1.5]⇔ ⇔ ⇔ J x2 − 2x − 8 < −2x x2 − 8 < 0 x > 2 + 2 3. Ví d 1.3. Gi i b t phương trình |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3. L i gi i. B t phương trình đã cho tương đương v i √   x3 − 7x − 3 < x3 + x2 + 3 x 2 + 7 x + 6 > 0 −1 + 57 ⇔ ⇔ −1 < x < 0 ho c x > . 4 −[x3 − 7x − 3] < x3 + x2 + 3 2x3 + x2 − 7x > 0 J ví d trên, vi c xét d u c a các bi u th c x3 − 7x − 3 và x3 + x2 + 3 là r t khó. Ví d 1.4. Gi i b t phương trình |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 0. L i gi i. Đưa b t phương trình đã cho v d ng |x3 − x2 + 4| −x3 + x2 + 2x + 2, ta đư c −3 x −1 và x = 1. J 3 2 3 2 Chú ý r ng, vi c xét d u các bi u th c x − x + 4 và −x + x + 2x + 2 là không đơn gi n. Ví d 1.5. Gi i b t phương trình ||x| − 1| < 1 − x. L i gi i. Ta có  x < 2 − x    |x| − 1 < 1 − x |x| < 2 − x   ||x| − 1| < 1 − x ⇔ ⇔ ⇔ −x < 2 − x ⇔ x < 0. J −|x| + 1 < 1 − x x < |x|   x < 0.  |x| 1 Ví d 1.6. Gi i b t phương trình 1 − . 1 + |x| 2 L i gi i. Ta có   |x| |x| 1 1 1− 2 ⇔ |x| 1 |x| 1 1 + |x| ⇔  1 + |x| 2   1− ⇔ |x|  |x| 1 3 1 + |x| 2 1 + |x| 0  −1 + 1 + |x| 1 + |x| 2 2 ⇔ −1 J x 1. 3
5. Ví d 1.7. Tìm t p giá tr c a bi u th c x + a, bi t r ng |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 3. [1.6] L i gi i. Đ t y = |x + a|, b t phương trình [1.6] cho tr thành |y − 2| + 2|y − 2a + 2| 3. [1.7] B t phương trình [1.7] tương đương v i  y − 2 3 − 2|y − 2a + 2| y − 2 −3 + 2|y − 2a + 2| hay −1 + 2|y − 2a + 2| 5 − 2|y − 2a + 2|. y [1.8] T [1.8] suy ra y ∈ [−1; 5]. 1 • y = −1 khi và ch khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 7 • y = 5 khi và ch khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 V y t p giá tr c a x + a là đo n [−1; 5]. J Ví d 1.8. Gi i b t phương trình ||x2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x2 − 8x − 5. [1.9] L i gi i.   |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x2 − 8x − 5 |x2 − 3x − 7| < x2 − 10x − 4 [1.9] ⇔ ⇔ |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x2 + 8x + 5 |x2 − 3x − 7| > −x2 + 6x + 6   x2 − 3x − 7 < x2 − 10x − 4 7x > 3          2  −x + 3x + 7 < x2 − 10x − 4  2  2x − 13x − 11 > 0 ⇔ ⇔   x2 − 3x − 7 > −x2 + 6x + 6  2x2 − 9x − 13 > 0          − x2 + 3 x + 7 > − x2 + 6 x + 6  3x − 1 > 0    x > 3    7 √   13 − 257    x <   4 √   √ 13 + 257   x>  13 − 257  √4 ⇔ ⇔x< . 4 9 − 85   x<  4  √    x > 9 + 85     4     x< 1  3 J Ví d 1.9. Gi i b t phương trình |x2 − |x2 − 3x − 5| − 5| < x + 1. 4
6. √ √ 1+ 19 2+ 16 3 − x. [1.10] x − 1 > 3 − x − |x − 2|, L i gi i. Ta có |x − 1| + |x − 2| > 3 − x ⇔ |x − 1| > 3 − x − |x − 2| ⇔ −x + 1 > 3 − x − |x − 2|  x > 6,  x − 2 > 4,  x < −2, |x − 2| > 4, −x + 2 > 4, x > 6,   ⇔ ⇔ ⇔  x < − 4 ⇔ x < 0.  |x − 2| > 2x + 2 x − 2 > 2x + 2,  3  −x + 2 > 2x + 2 x
7.  f 1 [ x ] 0,     f [ x ] 0, 2 ⇔ min{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} 0. 3. . . . . . . . . .     f n [ x] 0   f1 [x] > 0,     f [x] > 0, 2 ⇔ min{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} > 0. 4. . . . . . . . . .     f n [ x] > 0   f1 [x] < 0,  f [x] < 0, 2 ⇔ min{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} < 0. 5.   ......... fn [x] < 0  f1 [x] 0,  f [x] 0, 2 ⇔ min{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} 0. 6.   ......... fn [x] 0  f1 [x] 0,  f [x] 0, 2 ⇔ max{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} 0. 7.   ......... fn [x] 0  f1 [x] > 0,  f [x] > 0, 2 ⇔ max{f1 [x], f2 [x], . . . , fn [x]} > 0. 8.   ......... fn [x] > 0 Ví d 1.13. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | + |g | < h. [1.11] L i gi i.   f < h − |g |, |g | < h − f, [1.11] ⇔ |f | < h − |g | ⇔ ⇔ − f < h − | g | |g | < h + f,   g < h − f, f + g < h,       −g < h − f, f − g < h,   ⇔ ⇔ −f + g < h, g < h + f,         −g < h + f −f − g < h.   J 6
8. Chú ý, trong b t phương trình [1.11] có ch a hai d u giá tr tuy t đ i và ta có th đưa [1.11] v d ng |f1 | f2 . Ta th y, ng m i d u giá tr tuy t đ i, thì d u bi u th c bên trong c a nó có hai trư ng h p là [+] và [−] [ta không xét bi u th c bên trong d u giá tr tuy n đ i luôn dương ho c luôn âm]. Do đó, v i b t phương trình d ng [1.11], đ th b d u giá tr tuy t đ i, ta xét các kh năng sau: [+ +], [+ −], [− +] và [− −]. đây, kí hi u [+ +] đ ch d u c a f và g đ u dương. Ví d 1.14. Tìm quan h gi a f, g, h, k bi t |f | + |g | + |h| < k  f + g < k − |h|,    f − g < k − |h|,  L i gi i. Ta có |f | + |g | + |h| < k ⇔ |f | + |g | < k − |h| ⇔ −f + g < k − |h|,     −f − g < k − |h|    h < k − f − g, f + g + h < k,         −h < k − f − g, f + g − h < k,            |h| < k − f − g, h < k − f + g, f − g + h < k,            |h| < k − f + g, −h < k − f + g, f − g − h < k,    ⇔ ⇔ ⇔ |h| < k + f − g, h < k + f − g, −f + g + h < k,             |h| < k + f + g −h < k + f − g, −f + g − h < k,            −f − g + h < k, h < k + f + g,           − h < k + f + g −f − g − h < k J B ng quy n p, ta ch ng minh đư c r ng, b t phương trình có d ng |f1 | + |f2 | + |f3 | + · · · + |fn | < f tương đương v i h g m 2n b t phương trình. Ví d 1.15. Gi i b t phương trình |3x + 2| + |2x − 3| < 11. [1.12] L i gi i. Đ ý b t phương trình có d ng |f | < g. x < 12 ,   [3x + 2] + [2x − 3] < 11,  5       [3x + 2] − [2x − 3] < 11,   12 x < 6,  [1.12] ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x < . 5 −[3x + 2] + [2x − 3] < 11, x > −16,         −[3x + 2] − [2x − 3] < 11 x > −2   J Ví d 1.16. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15. [1.13] 7
9. L i gi i. Ta có [1.13]  [x2 − 3x − 7] + [2x2 − x − 9] + [3x2 − 7x − 5] < x + 15,    2 x − 3x − 7 + 2x2 − x − 9 − [3x2 − 7x − 5] < x + 15,     2 x − 3x − 7 − [2x2 − x − 9] + 3x2 − 7x − 5 < x + 15,     2 x − 3x − 7 − [2x2 − x − 9] − 3x2 − 7x − 5 < x + 15, ⇔ −[x2 − 3x − 7] + [2x2 − x − 9] + [3x2 − 7x − 5] < x + 15,     −[x2 − 3x − 7] + [2x2 − x − 9] − [3x2 − 7x − 5] < x + 15,      −[x2 − 3x − 7] − [2x2 − x − 9] + [3x2 − 7x − 5] < x + 15,     −[x2 − 3x − 7] − [2x2 − x − 9] − [3x2 − 7x − 5] < x + 15,   6x2 − 12x − 36 < 0,     2x − 26 < 0,     2 2x − 10x − 18 < 0,     2 4x + 10x + 18 > 0,    ⇔ 4x2 − 4x − 8 < 0,   2 4x − 6x − 22 < 0,     −2x2 − 8x − 12 < 0,      −4x − 4 < 0,     −6x2 − 4x − 4 < 0  T đó, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ 5 − 61 5 + 61 97 + 3 ho c − 1 < x < h. [1.14] B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f + g > h,  f − g > h, |f | + |g | > h ⇔    −f + g > h, −f − g > h. Ví d 1.18. Gi i phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x. L i gi i.  x − 1 + 2 − x > 3 + x,  x − 1 − [2 − x] > 3 + x, x < 0, |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔  ⇔   −[x − 1] + 2 − x > 3 + x, x > 6. −[x − 1] − [2 − x] > 3 + x J 8
10. Ví d 1.19. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | < h. [1.15] L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g < h,    f + g < h,     |f | − |g | < h ⇔  −f − g < h,      −f + g < h.  J Ví d 1.20. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | > h. [1.16] L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g > h,  f + g > h,  |f | − |g | > h ⇔  −f − g > h,   −f + g > h. J Ví d 1.21. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3. [1.17] L i gi i.   x2 − 3x − 17 + x2 − 5x − 7 > 3, 2x2 − 8x − 27 > 0, x2 − 3x − 17 − x2 + 5x + 7 > 3;   2x > 13;   [1.17] ⇔  ⇔ −x2 + 3x + 17 + x2 − 5x − 7 > 3, −2x > −7,     2 2 −2x2 + 8x + 21 > 0 −x + 3x + 17 − x + 5x + 7 > 3 √  4 − 70    x<   2 √   4 + 70  √  x>  4 − 58 7  2  13  2 x> 7  2  x<  2 √ √  4 − 58 4 + 58 
11.  3[x − p] + 5[x − 3p] + 4x + 6p + 12 0,    3[x − p] − 5[x − 3p] + 4x + 6p + 12  0, L i gi i. [1.18] ⇔ −3[x − p] + 5[x − 3p] + 4x + 6p + 12 0,     −3[x − p] − 5[x − 3p] + 4x + 6p + 12 0    12x − 12p + 12 0, x p − 1,  x p − 2,        x −9p − 6,    2x + 18p + 12 0,  ⇔ ⇔ ⇔ x −9p − 6, 6x − 6p + 12 0, x p − 2,     6p + 3 x        −4x + 24p + 12 0 6p + 3 x     p −1, p > −1, ⇔ ho c 6p + 3 x p − 2 x ∈ ∅,   p −1, 6p + 3 x p − 2, ⇔ ⇔ p −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6 Ta có p − 9 6p + 3 −9p − 6 15 K t lu n • N up −1, thì b t phương trình [1.18] có nghi m là 6p + 3 p − 2; x • N u p > −1 b t phương trình [1.18] vô nghi m. J Ví d 1.23. Gi i và bi n lu n b t phương trình theo tham s |2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p. [1.19] L i gi i. B t phương trình [1.19] tương đương v i h    [2x + 21p] − 2[2x − 21p] < x − 21p  x > 28p          [2x + 21p] + 2[2x − 21p] < x − 21p  x 6p          −[2x + 21p] + 2[2x − 21p] < x − 21p  x < 42p   • N u p < 0, thì 42p < 28p < 6p < 0; • N u p = 0, thì 0 = 6p = 28p = 42p; • N u p > 0, thì 0 < 6p < 28p < 42p. K t lu n • N u p < 0, thì x ∈ [−∞; 42p] ∪ [6p; +∞]; • N u p = 0, x ∈ [−∞; 0] ∪ [0; +∞]; • N u p > 0, thì x ∈ [−∞; 0] ∪ [28p; +∞]. J 10
12. Ví d 1.24. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s a sao cho b t phương trình x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 0 [1.20] đúng v i m i x ∈ R. L i gi i. B t phương trình [1.20] có d ng |f | g.   x2 − [x − a] − [x − 1] + 3 x2 − 2x + a + 4 0, 0,       2 2 x − [x − a] + [x − 1] + 3 0, x + a + 2 0, [1.20] ⇔ ⇔ x2 + [x − a] − [x − 1] + 3 x2 − a + 4 0, 0,       2 2 x + [x − a] + [x − 1] + 3 x + 2x − a + 2 0 0,   B t phương trình [1.20] đúng v i m i x ∈ R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên  12 − [a + 4] 0,    −[a + 2] 0,  đúng v i m i x ∈ R. Đi u này x y ra khi và ch khi ⇔ −2 a 1. J −[−a + 4] 0,    2 1 − [−a + 2] 0  Ví d 1.25. Tìm m đ b t phương trình −2x2 + |x − m| + |x2 − mx + 1| < 0, ∀x ∈ R. [1.21]   −2x2 + x − m + x2 − mx + 1 < 0, x2 + [m − 1]x + m − 1 > 0,       −2x2 + x − m − [x2 − mx + 1] < 0, 2 3x − [m + 1]x + m + 1 > 0,  L i gi i. [1.21] ⇔ ⇔ −2x2 − [x − m] + x2 − mx + 1 < 0, x2 + [m + 1]x − m − 1 > 0,        2 2 2 −2x − [x − m] − [x − mx + 1] < 0 3x − [m − 1]x − m + 1 > 0.   B t phương trình [1.21] đúng v i m i x thu c R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên đúng v i m i x thu c R. Đi u này x y ra khi và ch khi   [m − 1]2 − 4[m − 1] < 0, 1 < m < 5,       [m + 1]2 − 12[m + 1] < 0, −1 < m < 11,   ⇔ [m + 1]2 + 4[m + 1] < 0, −5 < m < −1,         2 [m − 1] + 12[m − 1] < 0 −11 < m < 1.   J H b t phương trình trên vô nghi m. V y không có giá tr c a m tho yêu c u đ bài. Ví d 1.26. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| [1.22] l n hơn 2. 11
13. L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R. Ta có x2 + 2x − 1 + x − a > 2, x2 + 3x − 3 > a, x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2 ⇔ ⇔ x2 + 2 x − 1 − x + a > 2 −x2 − x + 3 < a. Do đó, ta c n tìm a tho  21  2 min[x + 3x − 3] > a,  a . 4 R J Ví d 1.27. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + |x − a| + |x − 1| [1.23] l n hơn 2. L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R. Ta có 2 a < x2 + 2x − 3,  x + [x + a] + [x − 1] > 2,  x2 − [x + a] + [x − 1] > 2,  a > −x2 + 3, y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔  2 ⇔    a < x2 − 1,  x + [x + a] − [x − 1] > 2, x2 − [x + a] − [x − 1] > 2 a < −x2 + 2x + 1 Yêu c u bài toán tho mãn khi và ch khi  a < max min[x2 + 2x − 3]; min[x2 − 1] , a < max{−4; −1}, a < −1, ⇔ ⇔ R R  a > min{3; 2} a > 2. 2 2 a > min max[−x + 3]; max[−x + 2x + 1] R R J Ví d 1.28. Tìm a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = ax + |x2 − 4x + 3| l n hơn 1. L i gi i. Ta c n tìm a sao cho ax + |x2 − 4x + 3| > 1, ∀x ∈ R hay |x2 − 4x + 3| > 1 − ax, ∀x ∈ R. Đi u này cũng tương đương v i vi c tìm a sao cho đ th c a hàm s |x2 − 4x + 3| luôn luôn √ phía trên c a đư ng th ng y = 1 − ax. T đó ta có đáp s 1 < a < 4 + 2 2. J Ví d 1.29. V i giá tr nào c a m thì giá tr l n nh t c a hàm s f [x] = 4x − x2 + |x − m| nh hơn 4? L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm m đ f [x] = 4x − x2 + |x − m| < 4, ∀x ∈ R. B t phương trình trên có d ng |f | < g , ta tìm m đ m > 9   x2 − 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R 4 ⇔ x2 − 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R m < 7 4 J H trên vô nghi m. V y không t n t i m tho yêu c u đ bài. 12
14. 1.1. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| l n hơn 2. 21 13 Đáp s . a < − ho c a > . 4 4 1.2. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = 3|x − a| + |x2 + x − 2| nh hơn 2. Hư ng d n. Ta ch c n gi i bài toán tìm a sao cho b t phương trình 3|x − a| + |x2 + x − 2| < 2 có ít nh t m t nghi m. 8 5 Đáp s − < a < −1 hay 0 < a < . 3 3 1.3. Tìm m sao cho giá tr l n nh t c a hàm s y = |x2 − 4x + 3| + mx nh hơn 2. Đáp s . m > 5. 1.4. Tìm m sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = |x2 − 5x + 4| + mx l n hơn 1. √ Đáp s . 1 < m < 5 + 2 3. 1.5. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 − 2mx + 2|x − m| + 2 > 0. √ √ Đáp s . − 2 < m < 2. 1.6. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 + [m + 1]2 + 2|x − m + 1| 3. √ 2 Đáp s . −1 m . 2 1.7. Tìm tham s m đ f [x] = [x − 2]2 + 2|x − m| 3 v i m i x ∈ R. Đáp s . m 0 ho c m 4. 2 Gi i b t phương trình ch a d u giá tr tuy t đ i b ng cách đưa v phương pháp kho ng Xét b t phương trình d ng loga f [x] > loga g [x]. Ta có,  a > 0,     f [x] > 0, loga f [x] > loga g [x] ⇔ g [x] > 0,     [a − 1][f [x] − g [x]] > 0.  13
15. Như v y, v i các đi u ki n a > 0, f [x] > 0, g [x] > 0, thì d u c a hi u loga f [x] − loga g [x] là d u c a tích [a − 1][f [x] − g [x]]. Đ ch d u c a loga f [x] − loga g [x] là d u c a tích [a − 1][f [x] − g [x]], tôi kí hi u loga f [x] − loga g [x] ↔ [a − 1][f [x] − g [x]]. Ta có các k t qu sau: 1. u − v ↔ u2 − v 2 , 6. au − 1 ↔ u[a − 1], u, v 0; [a > 0]; 7. au − b ↔ [a − 1][u − loga b], [a > 0]; 2. |u| − |v | ↔ u2 − v 2 ; 8. loga u − loga v ↔ [a − 1][u − v ], √ √ v ↔ u2 − v 2 , u− [u, v 0]; 3. [a, u, v > 0]; √ v ↔ u2 − v 2 , 4. |u| − [v 0]; 9. loga u ↔ [a − 1][u − 1], [a, u > 0]; 5. au − av ↔ [a − 1][u − v ], 10. loga u − v ↔ [a − 1][u − av ], [a > 0]; [a, u > 0]. Ví d 2.1. Gi i b t phương trình √ [|x − 2| − 4 − x2 ] |x + 4| − x2 − x − 2 > 0. [2.1] [|1 − x| − 4] [|3 + x| − |x − 5|] L i gi i. B t phương trình [2.1] tương đương v i √ 2 |x − 2|2 − [4 + x2 ]2 |x + 4|2 − x2 − x − 2 >0 |1 − x|2 − 42 |3 + x|2 − |x − 5|2   [[x − 2]2 − [4 + x2 ]2 ] [[x + 4]2 − [x2 − x − 2]] >0  [[1 − x]2 − 42 ] [[3 + x]2 − [x − 5]2 ] ⇔ 2 x − x − 2 0   9[−x2 + x − 6][x2 + x + 2][x + 2] >0  16[−x − 3][5 − x][x − 1] ⇔ x −1 ho c x 2  −3 < x < −2 ⇔ 2 x < 5. J Ví d 2.2. Gi i b t phương trình √ x2 − 3x − 4 − |2x − 1| √ 1. [2.2] x + 7 − |2x − 1| 2  [x − 3x − 4] − [x + 7] 0 √ √    x + 7 − [2x − 1]2 2 − 3x − 4 − x x+7  √ L i gi i. [2.2] ⇔ 0 ⇔ x2 − 3x − 4 0 x + 7 − |2x − 1|    x + 7 0  √ −7 x 2 − 15 √ ⇔ x 2 + 15 J 14
16. Ví d 2.3. Gi i b t phương trình √ −x2 + 7x − 6 0. [2.3] |x2 − 6x + 5| − |x2 − 2x − 3| L i gi i. Ta có √ −x2 + 7x − 6 [2.3] ⇔ 0 [x2 − 6x + 5]2 − [x2 − 2x − 3]2 √ −x2 + 7x − 6 ⇔ 0 [2x2 − 8x + 2][8 − 4x]  −x2 + 7x − 6 = 0   2  [2x − 8x + 2][8 − 4x] = 0 ⇔   2  −x + 7 x − 6 > 0  2x2 − 8x + 2][8 − 4x] < 0 √ 2+ 3
17. Ví d 2.5. Gi i b t phương trình √ x2 − 5 − 3 1. [2.7] |x + 4| − 7 |x| √5,    x2 − 5 0,   ⇔ x = 3, L i gi i. Đi u ki n đ [2.7] có nghĩa là |x + 4| − 7 = 0   x = −11.  √ √ [ x + 5 + 4]2 − |x + 4|2 x2 − 5 + 4 − | x + 4 | Ta có [2.7] ⇔ 0⇔ 0 |x + 4|2 − 49 |x + 4| − 7 √ x2 − 5 + 8 x2 − 5 + 16 − x2 − 8x − 16 ⇔ 0. [x − 3][x + 11] T đó √ 8 x2 − 5 − [8x + 5] 0 [2.8] [x − 3][x + 11] √ √ • N u x − 5 và x = −11, thì 8x + 5 < 0, suy ra 8 x2 − 5 − [8x + 5] > 0. Do đó, [2.8] x y √ ra khi và ch khi [x − 3][x + 11] > 0 hay x < −11 ho c x > 3. Do đang xét v i x − 5 và x = −11, nên ta có x < −11. √ √ 5 và x = 3, 8 + 5 > 0. Nhân [2.8] v i 8 x2 − 5 + [8x + 5], ta đư c •Nux x x < −11 √ x < −11 −80x − 345 5, ta đư c √ 0. D n t i  69 Do đi u ki n x [x − 3][x + 11] − 5 x < 3. x < 3. 16 √ T hai trư ng h p trên, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là x ∈ [−∞; −11] ∪ [ 5; 3]. J Ví d 2.6. Gi i b t phương trình log−4x2 +12x−8 |4x − 5| > 0. L i i. B t phương trình đã cho tương đương v i gi  1 < x < 2, −4x2 + 12x − 8 > 0,     5   ⇔ x= , |4x − 5| > 0, 4     [−4x2 + 12x − 9][|4x − 5| − 1] > 0 [−4x2 + 12x − 9][|4x − 5|2 − 1] > 0    1 < x < 2,  5  1 < x < 4,  5  ⇔ x= , ⇔ 5 3 4 0,   x = 2,   2 L i gi i. Đi u ki n xác đ nh c a b t phương trình là x = 1, ⇔ x > 5 .  4x − 5  4 >0   |x − 2| 16
18. 4x − 5 4x − 5 1 ⇔ logx2 logx2 |x| Khi đó, logx2 |x − 2| |x − 2| 2 4x − 5 5 − | x| 0 Vì x > , nên b t phương trình tương đương v i |x − 2| 4 ⇔ [4x − 5]2 ] − [|x[x − 2|]2 0 ⇔ [x2 + 2x − 5][x2 − 6x + 5] 0 √ − 6 − 1 x 1, ⇔√ 6 − 1 x 5. √ K t h p v i đi u ki n, t p nghi m c a b t phương trình đã cho là S = [ 6 − 1; 2] ∪ [2; 5]. J 2 −3x+1| Ví d 2.8. Gi i b t phương trình |x2 − 1|log2 |x > 1. L i gi i. Nh n xét x = ±1 không là nghi m c a b t phương trình.  |x2 − 1| > 0, 2 Ta có |x2 − 1|log2 |x −3x+1| > 1 ⇔ [|x2 − 1| − 1]. log |x2 − 3x + 1| > 0 2  |x2 − 1| > 0, x2 − 1 = 0,       ⇔ ⇔ x2 − 3x + 1 = 0, |x2 − 3x + 1| > 0,     2 [|x − 1| − 1].[|x2 − 3x + 1| − 1] > 0 2 [|x − 1|2 − 1].[|x2 − 3x + 1|2 − 1] > 0 √ √   x = ±1; x = 3 ± 5 , x = ±1; x = 3 ± 5 ,   ⇔ ⇔ 2 2 2 [|x − 1|2 − 1].[|x2 − 3x + 1|2 − 1] > 0 2 2 x [x − 2][x2 − 3x + 2][x2 − 3x] > 0. Gi i h trên, ta đư c nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ √ 3− 5 3− 5 S = [−∞; − 2] ∪ 0; ∪ ; 1 ∪ [ 2; 2] ∪ [3; +∞]. 2 2 J Ví d 2.9. [Đ i h c Qu c gia H Chí Minh, 1998] Gi i b t phương trình 1 1 √ > . [2.9] log1/3 [x + 1] 2 − 3x + 1 log1/3 2x √ log3 [x + 1] − log3 2x2 − 3x + 1 1 1 √ √ L i gi i. [2.9] ⇔ ⇔ < 0, x + 1 > 0,  0 < x < 1,       3 2  ⇔ 2x − 3x + 1 > 0, 2 ⇔ 2x − 3x + 1 > 0,  ⇔ 1
19. 1 2 Khi đó, [2.10] ⇔ log|x+1/3| |x| log|x+1/3| |2x + 3| log|x+1/3| |2x + 3| − log|x+1/3| |x|2 ⇔ 0 log|x+1/3| |x|. log|x+1/3| |2x + 3| [|x + 1/3| − 1][|2x + 3| − x2 ] ⇔ 0. [|x + 1/3| − 1]2 .[|x| − 1][|2x + 3| − 1] 4 2 [−x2 + 2x + 3][x2 + 2x + 3] x− x+ 3 3 ⇔ 0. [x + 1][x − 1][2x + 4][2x + 2] Gi i h trên ta đư c t p nghi m c a b t phương trình [2.10] là 41 1 2 S = [−∞; −2] ∪ − ; − ∪ − ; −1 ∪ ; 1 ∪ [3; +∞]. 33 3 3 J Ví d 2.11. Gi i b t phương trình x2 − 4|x| log5 log1/2 0. [2.11] |x| − 7 x2 − 4|x|  2 2  x − 4|x|  2x − 9|x| + 7 1 log1/2 1, , 0,    |x| − 7 |x| − 7 |x| − 7 2    L i gi i. [2.11] ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 4|x|  x2 − 4|x|  x2 − 5|x| + 7 log >0 0, x = −1.   2x + 3 > 0,      log5 [x + 2] = 0  Khi đó, [2.12] tương đương v i 2x + 3 logx+2 [2 − x]. log5 [x + 2] − log5 5 0 [2.13] log5 [x + 2] hay 2x + 3 log5 [2 − x] − log5 5 0 [2.14] log5 [x + 2] 18
20. • N u log5 [2 − x] > 0 ⇔ x < 1, [2.14] tương đương v i 2x + 3 log2 [2 − x] − log2 5 5 5 0. log5 [x + 2] Hay 2x + 3 2x + 3 log5 [2 − x] + log5 log5 [2 − x] − log5 5 5 0. log5 [x + 2] Do đó, ta có 5[2 − x] 2x + 3 log5 [2 − x] . log5 5 2x + 3 0. log5 [x + 2] S d ng tính ch t loga u ↔ [a − 1][u − 1], [a, u > 0], b t phương trình trên tương đương vi 5[2 − x] −1 2x + 3 2x + 3 [2 − x] −1 . 0. 5 x+1 Hay [−2x2 + x + 1][−7x + 7] 0. x+1  3  − 2 < x < −1 3 Gi i b t phương trình trên cùng v i đi u ki n − < x < −1, ta đư c  1 2 − < x < 1. 2 • N u log5 [2 − x] < 0 ⇔ x > 1. Khi đó, 2x + 3 log5 [2 − x] − log5 5

Page 2

YOMEDIA

HS hiểu kỹ định nghĩa giá trị tuyệt đối từ đó biết cách mở dấu giá trị tuyệt của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Biết giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Hiểu được và sử dụng qui tắc biến đổi bất phương trình: chuyển vế và qui tắc nhân + Biết biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số + Bước đầu hiểu bất phương trình tương đương. 2, Kỹ năng: áp dụng 2 qui tắc để giải bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối....

03-01-2011 5138 450

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.