Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
– Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.
– Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh [4 góc]. Ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.
– Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
– Cách 2: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// b thì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º- α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Cần áp dụng các tính chất:
Gọi α là góc giữa hai vectơ thì ta có:
– Góc giữa hai vectơ song song cùng chiều bằng 0º
– Góc giữa hai vectơ song song ngược chiều bằng 180º
– Góc giữa hai vectơ vuông góc bằng 90º
Bài tập xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Xem thêm Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
Chuyên đề, Hình học không gian
Chúng ta sẽ đi xét 2 đường thẳng a và b chéo nhau trong không gian. Và gọi α là góc giữa a và b.
1. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
Cách 2: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// b thì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
2. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º- α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Cần áp dụng các tính chất:
*Chú ý: Góc giữa 2 vectơ
Gọi α là góc giữa hai vectơ thì ta có:
– Góc giữa hai vectơ song song cùng chiều bằng 0º
– Góc giữa hai vectơ song song ngược chiều bằng 180º
– Góc giữa hai vectơ vuông góc bằng 90º
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.
Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng ${a}'$, ${b}'$ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ không thay đổi.
Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right]=\alpha $ thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $\alpha $ nếu $0\le \alpha \le 90{}^\circ $ và bằng $180{}^\circ -\alpha $ nếu $90{}^\circ 0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.$
Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right];\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$
Khi đó $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right]\left[ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right]=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.$
Lại có: $AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}$ và $BC=a\sqrt{3}$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB. |
Lời giải chi tiết
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó $\left\{ \begin{array} {} MP//SC \\ {} N//AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \widehat{SC;AB} \right]=\left[ \widehat{MP;MN} \right].$
Ta có: $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.$
Mặt khác $\Delta SAC$ vuông tại S $\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
$B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
Suy ra $P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Khi đó $\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left[ \widehat{SC;AB} \right]=60{}^\circ .$
Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left[ \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right].\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$
$=\frac{1}{2}\left[ S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right]=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.$
Suy ra $\cos \left[ SC;AB \right]=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left[ SC;AB \right]=60{}^\circ .$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có $AB={{x}_{1}},CD={{x}_{2}};AC={{y}_{1}},BD={{y}_{2}},BC={{z}_{1}},AD={{z}_{2}}$. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{BC}\left[ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD} \right]=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}$
$=\frac{1}{2}\left[ C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ C{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right]=\frac{1}{2}\left[ A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}-C{{A}^{2}} \right].$
Khi đó $\cos \left[ BC;DA \right]=\frac{\left| \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA} \right|}{BC.DA}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}.$
Đặc biệt: Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ và $BC=AD=z$ ta đặt $\left\{ \begin{array} {} \alpha =\left[ \widehat{BC;AD} \right] \\ {} \beta =\left[ \widehat{AB;CD} \right] \\ {} \gamma =\left[ \widehat{AC;BD} \right] \\ \end{array} \right.$ thì ta có:
$\cos \alpha =\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}};\cos \beta =\frac{\left| {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right|}{{{x}^{2}}};\cos \gamma =\frac{{{z}^{2}}-{{z}^{2}}}{{{y}^{2}}}.$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, $SA\bot \left[ ABCD \right]$ và $SB=a\sqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN . |
Lời giải chi tiết
■ Cách 1: Do $SA\bot \left[ ABCD \right].$
Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó $DN//BE//MI.$
Tacó: $AM=a;AI=\frac{AE}{2}=\frac{a}{2}.$
Mặt khác: $S{{M}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}=2{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}.$
$MI=A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}$. Do vậy $\cos \widehat{SMI}=\frac{S{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2.SM.MI}=\frac{\sqrt{10}}{5}=cos[\widehat{SM;DN}].$
■ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{SM}.\left[ \overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SD} \right]=\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SN}\text{ }-\text{ }\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SD}$
$\text{=}\frac{1}{2}\left[ S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{M}^{2}}+S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}} \right]$
Mặt khác: $S{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}=6{{a}^{2}},MN=\frac{AC}{2}=\text{ }a\sqrt{2},S{{D}^{2}}=5{{a}^{2}},M{{D}^{2}}=5{{a}^{2}}.$
Do đó $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}=2{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left[ SM;DN \right]=\frac{\left| 2{{a}^{2}} \right|}{SM.DN}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a;AD=a\sqrt{2},\text{ }SA\bot \left[ ABCD \right]$ và $\text{SA=2a}\text{.}$
a] Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD. b] Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI. |
Lời giải chi tiết
a] Do $BC//AD\Rightarrow [\widehat{SD;BC}]=[\widehat{SD;AD}]=\widehat{SDA}$
$\Delta SAD$ vuông tại A $\Rightarrow \cos \widehat{SDA}=\frac{AD}{SD}=\frac{AD}{\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$
b] Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB.
Khi đó $MK//SB$, mặt khác $MC//AI.$
Suy ra $[\widehat{SB;AI}]=[\widehat{MK;CM}].$
Ta có: $MK=\frac{SB}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; $MC=\sqrt{M{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{3a}{2}$; $KC=\sqrt{K{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a.$
Khi đó $cos\widehat{KMC}=\frac{K{{M}^{2}}\text{+ }M{{C}^{2}}-K{{C}^{2}}}{2.KM.MC}=-\frac{1}{3\sqrt{5}}\Rightarrow cos\left[ \widehat{SB;AI} \right]=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$
Cách khác: Ta có:$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{SB}.\left[ \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right]=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}$
$=\frac{1}{2}\left[ S{{B}^{2}}+S{{I}^{2}}-I{{B}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right]$
Do $S{{B}^{2}}=5{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}=\frac{25{{a}^{2}}}{4};AI=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}}=\frac{3a}{2}=IB.$
Suy ra $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow \cos \left[ SB;AI \right]=\frac{\left| \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI} \right|}{SB.AI}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}.\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc $30{}^\circ $. Tính cosin góc giữa
a] SD và BC. b] DH và SC, với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy [ABCD]. |
Lời giải chi tiết
a] Do $AB=BC=a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh a.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB.$
Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} \left[ SAB \right]\bot \left[ ABCD \right] \\ {} AB=\left[ SAB \right]\cap \left[ ABCD \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left[ ABC \right].$
$\Delta ABC$ đều nên $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2},\left[ \widehat{SC;\left[ ABC \right]} \right]=\text{ }\widehat{SCH}=30{}^\circ $
Ta có: $SH=HC\tan 30{}^\circ =\frac{a}{2}.$
Do $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=120{}^\circ \Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AH.AD\cos 120{}^\circ }=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Suy ra $SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Mặt khác $AD//BC\text{ }\Rightarrow \left[ \widehat{BC;SD} \right]=\left[ \widehat{AD;SD} \right]$, $\cos \widehat{SDA}=\frac{D{{S}^{2}}+D{{A}^{2}}-S{{A}^{2}}}{2.DS.DA}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$
Do vậy $cos\left[ \widehat{BC;SD} \right]=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$
b] Ta có $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{SC}.\left[ \overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SD} \right]=\text{ }\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SD}$
$=\frac{1}{2}\left[ S{{H}^{2}}+S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}-C{{D}^{2}} \right]=-\frac{3{{a}^{2}}}{4}$
Mặt khác: $SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=a\Rightarrow \cos \left[ SC;DH \right]=\frac{\left| \overrightarrow{SC};\overrightarrow{DH} \right|}{SC.DH}=\frac{\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{a.\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.$
Cách khác: Gọi I là trung điểm của CD$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} DH//BI \\ {} DH=BI=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\ \end{array} \right.$, gọi M là trung điểm của SD
$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} MI//SC \\ {} MI=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2} \\ \end{array} \right.$. Lại có: $BD=a\sqrt{3}$; $SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Do đó $B{{M}^{2}}=\frac{B{{D}^{2}}+B{{S}^{2}}}{2}-\frac{S{{D}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{MIB}=\frac{M{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}{2.IM.IB}=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$
Suy ra $\cos \left[ \widehat{DH;SC} \right]=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có $AD=2AB=2CD=2a$ và $SA\bot \left[ ABCD \right]$. Biết rằng SC tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính cosin góc giữa:
a] BC và SD. b] AI và SD với I là trung điểm của CD. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Do $SA\bot \left[ ABCD \right]\Rightarrow \left[ \widehat{SC;\left[ ABC \right]} \right]=\widehat{SCA}=\text{ }60{}^\circ .$
Khi đó $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}.$
Do $AD//BC\Rightarrow \left[ \widehat{BC;SD} \right]=\left[ \widehat{AD;SD} \right].$
Mặt khác $\cos \widehat{ADS}=\frac{AD}{SD}~~=\frac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}~$
$=\frac{2a}{\sqrt{6{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}~=\frac{\sqrt{10}}{5}=c\text{os}\widehat{\left[ \text{BC;SD} \right]}.$
b] Gọi E là trung điểm của $AD\Rightarrow AE=DE=BC=a\Rightarrow $ ABCE là hình vuông cạnh a.
Do $CE=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C.
Ta có: $CD=\sqrt{C{{E}^{2}}+E{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow ID=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Lại có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=\left[ \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right].\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}\left[ S{{I}^{2}}+S{{D}^{2}}-D{{I}^{2}} \right]-\frac{1}{2}\left[ S{{A}^{2}}+S{{D}^{2}}-A{{D}^{2}} \right]$
Trong đó $A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}=\frac{17{{a}^{2}}}{2}.$
Do đó $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=3{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left[ AI;SD \right]=\frac{3{{a}^{2}}}{AI.SD}=\frac{3{{a}^{2}}}{a\sqrt{10}}=\frac{3}{5}.$
Cách khác: Gọi M là trung điểm của SC$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} MI//SD \\ {} MI=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2} \\ \end{array} \right.,AI=\frac{a\sqrt{10}}{2},AM=\frac{SC}{2}=a\sqrt{2}.$
Khi đó $\widehat{MIA}=\frac{I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}{2.IM.IA}=\frac{3}{5}.$
| Bài tập 8: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm ${A}'$ xuống mặt đáy [ABC] trung với trung điểm của BC. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $.
a] Tính tan góc tạo bởi ${B}'{C}'$ và ${A}'C$. b] Cosin góc tạo bởi $C{C}'$ và AB. |
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có: $BC//{B}'{C}'\Rightarrow \left[ \widehat{{B}'{C}';{A}'C} \right]=\left[ \widehat{BC;{A}'C} \right]=\widehat{{A}'CH}.$
Mặt khác ${A}'H\bot \left[ ABC \right]\Rightarrow \left[ \widehat{A{A}';\left[ ABC \right]} \right]=\widehat{A{A}'H}=60{}^\circ .$
$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2}.$
Xét tam giác vuông ${A}'HC$ ta có: $\tan \widehat{{A}'CH}=\frac{{A}'H}{HC}=3.$
Vậy $\left[ \widehat{B{C}';{A}'C} \right]=3.$
b] Do $C{C}'//A{A}'\Rightarrow \widehat{\left[ C{C}';AB \right]}=\widehat{\left[ A{A}';AB \right]}$
Ta có: ${A}'A=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
${A}'B=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\Rightarrow \cos \widehat{{A}'AB}=\frac{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}-{A}'{{B}^{2}}}{2.A{A}'.AB}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$
Vậy $\cos \left[ C{C}';AB \right]=\frac{\sqrt{3}}{4}.$