phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG
phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian,vận dụng cao, thông hiểu, bám sát đề thi THPTQG
Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot \left[ ABCD \right]$,đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=5a$ và $BC=4a$. Tính khoảng cách giữa SD và BC
Hướng dẫn giải
Ta có : $BC//\left[ SAD \right]$
Do đó: $d\left[ BC;SD \right]=d\left[ BC;\left[ SAD \right] \right]=d\left[ B;\left[ SAD \right] \right]$
Mà :
Ta có: $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{25{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}=3a$
Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Ta có:
Ví dụ 1: Hình chộp chữ nhật ABCD.ABCD’ có $AB=3;AD=4;AA'=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng bao nhiêu?
Ta có: $\left[ ABCD \right]//\left[ A'B'C'D' \right]$
$AC\subset \left[ ABCD \right]$ và $B'D'\subset \left[ A'B'C'D' \right]$
Nên $d\left[ AC,B'D' \right]=d\left[ \left[ ABCD \right];\left[ A'B'C'D' \right] \right]=AA'=5$
Bài tập tự giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC theo a.
Đáp số: $d\left[ MN,AC \right]=\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó. Ta xét 2 trường hợp sau:
1.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
- Chọn mặt phẳng
- Trong mặt phẳng
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ và $d\left[ \Delta ;\Delta ' \right]=IJ$
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Hướng dẫn giải
Ta có: $\Delta CDN=\Delta DAM\left[ cgc \right]$
Kẻ $HK\bot SC\Rightarrow HK\bot MD\Rightarrow DK=d\left[ DM,SC \right]$
Ta có:
$\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}$
2. ∆ và ∆’ vừa chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ theo một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
+ Chọn mặt phẳng
+ Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống
+ Gọi $H=d\cap ~\Delta ',HK//MN$
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của ∆ và ∆’ và $d\left[ ~\Delta ;\Delta ' \right]=HK=MN$
Cách 2:
+ Chọn mặt phẳng
+ Tìm hình chiếu của d xuống ∆’ xuống mặt phẳng
+ Trong mặt phẳng
Khi đó HM là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và $d\left[ \Delta ,\Delta ' \right]=HM=JI$
Bài tập tự giải: Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc $60{}^\circ $ , nhận $AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với $BC=a$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính $d\left[ AC,BD \right]$
Đáp án: $d\left[ AC;BD \right]=\frac{a\sqrt{93}}{31}$
Bài viết gợi ý:
Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau. Tuyển tập đề bài trắc nghiệm khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau. Hướng dẫn giải chi tiết.
Phương pháp chung:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: Nếu trong hình đa diện không có sẵn đường thẳng song song
|
Bài tập minh họa
Bài 1[Cơ bản]: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy [ABCD],
SA = a . Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC.
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
Bài 2: Cho hình chóp tứ diện đều SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau bằng a. Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, SD
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 3[Cơ bản]:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a , Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA ⊥ mp[ABCD] và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách BD và SM
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và [SAB] là 300 . Gọi E,F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.
Hướng dẫn giải
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a√3. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,CM
Bài tập 2: [A-2011] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng [SAB] và [SAC] cùng vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng [SBC] và [ABC] bằng 600. Tính khoảng cách giữa AB và SN
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, . Tính khoảng cách MD và SC
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, [SAD] vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách SA và BD
Bài tập 5: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, E là trung điểm của SD. Tính khoảng cách CE và BD
.