Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 VietJack

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Với Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản môn Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 11.

                          

1. Lý thuyết

a] Phương trình sin x = m 

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

- Các trường hợp đặc biệt:

sin x = 0 ⇔ x = kπ [k ∈ Z]

sin x = 1 ⇔ x =

 + k2π [k ∈ Z]

sin x = -1 ⇔ x = -

 + k2π [k ∈ Z]

b] Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

- Các trường hợp đặc biệt:

cos x = 0 ⇔ x =

 + k2π [k ∈ Z]

cos x = 1 ⇔ x = k2π [k ∈ Z]

cos x = -1 ⇔ x = π + kπ [k ∈ Z]

c] Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠

 + k2π [k ∈ Z]

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ [k ∈ Z]

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ [k ∈ Z] 

d] Phương trình: cot x = m. Điều kiện: x ≠ kπ[k ∈ Z] 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ [k ∈ Z] 

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ [k ∈ Z] 

e] Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin [cos, tan, cot] của chúng bằng m.

Ví dụ:

 ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm.

Đối với ví dụ trên ta viết:

 

chứ không viết

 

2. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

Mở rộng công thức nghiệm, với u[x] và v[x] là hai biểu thức của x.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a]

 

b] 3cos[x+1] = 1

c] tan[3x + 150] = √3

d]

 

Lời giải

a]

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b] 3cos[x+1] = 1

 

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c] Điều kiện xác định: cos[3x + 150] ≠ 0

⇔ 3x + 150 ≠ 900 + k180

⇔ 3x ≠ 750 + k180

⇔ x ≠ 250 + k600 [k ∈ Z]

Ta có:  tan[3x + 150] = √3

⇔ tan[3x + 150] = tan600

⇔ 3x + 150 = 600 + k180

⇔ x = 150 + k600 [k ∈ Z] [Thỏa mãn]

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = 150 + k600 [k ∈ Z]

d] Điều kiện xác định:

   

 

⇔

[Thỏa mãn]

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a]

 

b] cos5x – sinx = 0

c]

 

d]

 

Lời giải

a]

 

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b] cos5x – sinx = 0

 

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c]

 

 

 

Vậy họ nghiệm của phương trình là

d] Điều kiện xác định:

   

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a] [1 + 2cosx][3 – cosx] = 0

b] [cotx + 1]sin3x = 0 

c]

 

d] tanx.tan2x = 1

Lời giải

a] [1 + 2cosx][3 – cosx] = 0

 

Vậy họ nghiệm của phương trình là

b] Điều kiện xác định: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ[k ∈ Z] 

Ta có: [cotx + 1]sin3x = 0

   

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

c] Điều kiện xác định: cos3x - 1 ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 1 ⇔ 3x ≠ k2π ⇔

    .

Ta có:

   

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

d] Điều kiện xác định:

   

tanx.tan2x = 1 [*]

Trường hợp 1: tanx = 0. Thay vào [*] [vô lí].

Trường hợp 2: tanx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ [k ∈ Z]

 

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là

                                  

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình

 là

Câu 2. Số nghiệm của phương trình:

 với 0 ≤ x ≤ 2π  là :

A. 0                           B. 2                           C. 1                           D. 3

Câu 3. Các nghiệm phương trình

 là:

Câu 4. Các nghiệm của phương trình

 là:

Câu 5. Nghiệm của phương trình 2sinx.cosx = 1 là:

Câu 6. Phương trình

 có họ nghiệm là:

A. x = k2π,k ∈ Z       B. x = kπ,k ∈ Z          C. x = π + k2π,k ∈ Z          D. x =

 + kπ,k ∈ Z

Câu 7. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

Câu 8. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:

Câu 9. Giải phương trình

 

Câu 10. Nghiệm của phương trình sinx[2cosx - √3] = 0 là:

Câu 11. Nghiệm của phương trình tanx = cotx

Câu 12. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là

Câu 13. Phương trình [sinx + 1][sinx - √2] = 0 có các nghiệm là: 

Câu 14. Giải phương trình

 

Câu 15. Tìm tổng các nghiệm của phương trình

 trên [0,π]

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	B	C	D	B	A	B	C	D	A	A	D	A	D	D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ham-so-luong-giac.jsp