So sánh đa thức và phương trình vi phân năm 2024

Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)

Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:

Hay:

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Ta có: . Thế vào phương trình (1) ta có:

.

(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).

Từ đó:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)

Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*)

Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có:

Hay: (2′)

Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:

Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng:

Ta có: Thế vào pt (2′) ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:

4. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng: (4)

Cách giải:

Nhân 2 vế của pt (4) cho . Ta có:

(4′)

Khi đó, ta đặt: . Ta có:

Thế vào phương trình (4′) ta có:

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!