Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán 11

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 có lời giải và đáp án chi tiết hay nhất cho các em và quý thầy cô tham khảo. Tổng hợp các dạng đề thi hsg môn toán lớp 11 cấp trường, cấp huyện và cấp tỉnh mới nhất. Tất cả đều được chúng tôi sưu tầm từ những năm 2017, 2018, 2019, 2020..

Có rất nhiều đề thi hsg môn toán và đề thi olympic toán lớp 11 được chúng tôi cập nhật liên tục từ các trang tài liệu lớn như 123doc.net hoặc tailieu.vn và violet. Nếu các em và quý thầy cô thấy hữu ích hãy like và share để ủng hộ chúng tôi nhé.

I. PHƯƠNG TRÌNH

1. Không có tham số

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Giải phương trình

Lời giải

+Biến đổi phương trình tương đương :

Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.

Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vì nên và Suy ra vì vậy

Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc

[Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :

Lời giải

Giải phương trình: ,với .

Hướng dẫn giải.

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3

Tìm nghiệm nguyên của phương trình .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

; ; ;

Giải ba hệ phương trình trên ta được: .

[THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010] Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Đặt ta được

Giải ta được suy ra

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Giải phương trình trên tập số thực: [1].

Hướng dẫn giải

Điều kiện: .

không là nghiệm của phương trình.

.

Đặt .

Phương trình trở thành: .

Khi đó ta có: . Vậy .

Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

Phương trình [1] .

Đặt . Ta có phương trình:

[*].

.

Phương trình [*]

.

Vậy .

Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

Đặt . Điều kiện:

Ta có:

Thay vào phương trình ta được:

+] : phương trình vô nghiệm do

Vậy là nghiệm phương trình.

Giải phương trình sau

Lời giải

Nhận xét rằng không là nghiệm của phương trình đã cho.

Suy ra . Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt , ta có phương trình

Xét hàm số .

Ta có hàm số liên tục trên và .

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng .

Khi đó phương trình đã cho có dạng

[do ]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và .

Giải phương trình sau :

Lời giải

Đặt .

Điều kiện xác định:

Đặt Ta có .

Phương trình đã cho trở thành

[tm đk].

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Giải phương trình: [1]

Điều kiện:

và do đó và .

[1] 



Đặt: a = 8 + 4 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.

Do đó: [1]  lna + 1[t + 1] = lnat

Cách 1: [1]  lna + 1[t + 1] = lnat .

Từ [I] ta được:

y = 1: là nghiệm của [2].

y < 1: , y < 1: .

Nên [2] có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: [1] t = a  x2 – 2x – 12 = 8 + 4 [ thỏa *]

 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Cách 2: Xét hàm số y = f[t] = lna + 1[t + 1] - lnat [a >1

Ta được: vì a > 1, nên hàm số giảm trên [0; +] và ta có f[t] = 0 có nghiệm t = a nên f[t] có nghiệm duy nhất t = a.

Vậy: [1] [1]  lna + 1[t + 1] = lnat  t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 [ thỏa *]

 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Giải phương trình: [1].

nên điều kiện là: x  -1.

x2 + 2x + 2 = [x +1] + [x2 + x + 1], đặt ,

Với điều kiện x  -1: [1] trở thành:

3[a2 + b2] = 10ab  3a2 – 10ab + 3b2 = 0  [a – 3b][3a – b] = 0  a = 3b hay a = b/3.

a = 3b  =3  x + 1 = 9[x2 + x + 1]  9x2 + 8x + 8 = 0 [vô nghiệm]

a = b/3  3a = b 3 =9[x + 1] = x2 + x + 1  x2 - 8x - 8 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm:.

Giải phương trình :

Điều kiện: x -1

+] Nếu x > 3 thì:

x- 3x + 2 = [x – 1] - 3[x- 1] > 4[x – 1] – 3[x – 1] = x – 1 > Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn

Với -1 x 3

Đặt x = 2cost + 1 [ 0 t ]

Khi đó phương trình trở thành:

[2cost + 1] - 3[2cost + 1] + 2 =

8cost – 6cost =

2cos3t = 2cos

cos3t = cos

Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

Đặt Ta có .

Phương trình đã cho trở thành

.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là

[Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :

[Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình

Lời giải

Phương trình tương đương với

Đặt , ta có phương trình

Vì nên

Tập nghiệm

Giải phương trình: ,với

Hướng dẫn giải.

Từ pt ta thấy

[1]

Đặt:

Pt trở thành:

Giải phương trình

Giải phương trình: .

Hướng dẫn giải.

Đặt từ phương trình ta có

Như vậy: ngược hướng

Suy ra: [1]

Giải [1] và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là

Giải phương trình: ,với

Hướng dẫn giải.

Đk:

Đặt

Ta có:

Vậy phương trình có một nghiệm: ,

Giải phương trình: .

Giải phương trình:

Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho có điều kiện

Với điều kiện trên ta có:

Đặt ta có:

Với ta có :

So với điều kiện , phương trình đã cho có nghiệm

Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải.

Điều kiện: Đặt [],

ta thu được hệ

Suy ra

Do vậy

Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn.

Đáp số:

Giải phương trình: .

Hướng dẫn giải.

= 0

[x = 0 không là nghiệm]

Đặt ta được

So với điều kiện ta được

So với điều kiện , ta được

Giải phương trình sau: với .

Hướng dẫn giải.

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

[*]

[*]

 Với thì có một nghiệm là

 Với thì có một nghiệm là

 Khi thì

hoặc .

Khi thì

hoặc .

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Điều kiện

Đặt ta có

Phương trình đã cho trở thành

Ta có nên

Ta được phương trình

Với thì

Với thì

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Ta có phương trình tương đương với

Xét [1], đặt , suy ra và .

Ta được

. Từ đó suy ra .

Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và .

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với .

Đặt , ta có phương trình

Vì nên

Tập nghiệm .

[Chuyên Hưng Yên ] Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Đặt , ta được hệ:Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được:

TH1:

TH2:

phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:

Giải phương trình : .

Hướng dẫn giải

Đặt .

Từ phương trình đã cho ta có : [*]

Ta có : [*]

Với ta có

Đặt từ phương trình [**] ta có :[***]

Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số trên ta thấy [***] có một nghiệm duy nhất

Ta biểu diễn dưới dạng:

Ta có : nên có thể chọn sao cho :

Vậy ta có :

Như vậy được chọn là nghiệm của phương trình :

Suy ra:

Ta tìm được nghiệm của [***] là

.Suy ra :

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

;

Giải phương trình sau: .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Đặt ,. Phương trình trở thành:

Dạng 3. Sử dụng hàm số

Giải các phương trình sau:

a]

b] .

Giải phương trình sau:

a]

b]

Giải phương trình .

Giải phương trình:

Phương trình đã cho tương đương với:

Xét x = 0; x =  1: Thay vào [1] ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x =  1.

Xét x  0; x   1: Khi đó [1] 

Với t  0, xét hàm số: .

* Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 f[t] > 0 và với t < 0 thì 3t – 1 < 0  f[t] > 0, do đó:

Vì [2]  f[x] + f[x2 – 1] = 0 nên [2] vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x =  1.

[Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :

Giải phương trình: .

Ta có [1].

Đặt thì do đó đồng biến và liên tục trên . Từ đó:

.

.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Giải phương trình [1]

Hướng dẫn giải

Có không là nghiệm của [1]

Xét , chia hai vế cho , được

Đặt , khi đó có PT

Suy ra

Xét hàm số .Vì f[t] là hàm số đồng biến trên R

nên =

Giải tìm được y = 0 [loại];

Tính x theo

Tập nghiệm của phương trình [1] là

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Điều kiện:

Phương trình

Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình.

Xét hàm số ; ta có: [*]

Áp dụng [*] với

Ta có:

. Vậy là nghiệm phương trình.

Giải phương trình .

Hướng dẫn giải.

Đặt ta được:

[*]

Xét hàm số trên có

 hàm số đồng biến trên ; [*]

Thử lại, ta được: là nghiệm phương trình.

Giải phương trình : trên .

Hướng dẫn giải

Đặt .Với ta có .

Phương trình đã cho trở thành : [*]

Với Ta có:

Vậy trên phương trình đã cho có nghiệm .

Giải phương trình: .

Lời giải

Biến đổi phương trình: [1]

Đa thức có tối đa 3 nghiệm và ta có: ; ; ; . liên tục trên khoảng và , , nên có 3 nghiệm trên khoảng .

Do có đúng 3 nghiệm trong khoảng , nên ta có thể đặt với .

Phương trình [1] trở thành:

[do ]

[với ]

hay hay .

Giải phương trình sau: .

Hướng dẫn giải

Điều kiện .

Đặt .

Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình:

Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình:

Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là:.

Giải phương trình:.

[Chưa giải]

Giải phương trình:

[Chưa giải]

Dạng 3: Sử dụng hàm số

Cho phương trình: với. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số với nguyên, [1]

+] Ta có: . Do nên khi thì Vậy là hàm số đồng biến trên .

Lại có: [ vì nguyên và ]

Ta có: và liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất trên .

+] Mặt khác với thì suy ra với mọi

Như vậy ta đã chứng minh được [1] có nghiệm dương duy nhất với mọi nguyên,

Cho phương trình: .

Chứng tỏ phương trình [1] có đúng 5 nghiệm.

Với là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng:

Hướng dẫn giải

1. Xét hàm số: .

* f[x] là hàm số xác định và liên tục trên R.

* Ta có:

;

Phương trình có 5 nghiệm phân biệt

sao cho:

* Ta có là nghiệm của [1] nên:

Do đó:

Xét biểu thức:

Đồng nhất thức ta được:

Do vậy:

Mặt khác:

Với ta được:

và

Do đó:

Vậy: .

Dạng 4: Đánh giá

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Hướng dẫn giải

Xem [1] là phương trình bậc hai ẩn x ta có: [1] .

* Để [1] có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: [ k nguyên, không âm]

* Lại xem là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần là là một số chính phương [m nguyên dương].

Do và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp.

+] TH1: suy ra phương trình [1] có nghiệm .

+] TH2: suy ra phương trình [1] có nghiệm .

+] TH3 : Loại.

[Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.

Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vì nên và Suy ra

vì vậy

Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc

[Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016]

Ký hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình

Hướng dẫn giải

Ta có

pt

Vậy .

Có tham số

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

.[1]

Hướng dẫn giải

Đặt ; điều kiện: .

Ta có: [2]

Pt [2] có hai nghiệm phân biệt .Vậy .

Thay vào phương trình ta được: [3]

Đặt .

Ta có: số giao điểm của [C] và [d] là số nghiệm phương trình [3].

Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khi phương trình [2] có đúng 1 nghiệm.

Xét hàm số ; .

Cho .

Bảng biến thiên

t1 2 +∞ y’ 0 +y8 +∞

7

Vậy phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt .

Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

.

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi [1] có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: [*].

Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của [1].

Theo định lý Viet ta có [2].

Xét các trường hợp sau:

*] Nếu [3]. Từ [2] và [3] ta có hệ:

.

*] Nếu [4]. Từ [2] và [4] ta có hệ: .

Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:.

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải.

Lời giải:

Điều kiện:

PT [1]

[2]

Đặt

Ta có: ;

Do đó :

Phương trình [2] trở thành [3]

Xét hàm số ,

Ta có :

Bảng biến thiên :

Phương trình [1] có nghiệm phương trình [3] có nghiệm

Tìm để phương trình sau [ẩn ] chỉ có một nghiệm.

Cho hai phương trình sau:

[1]

[2]

[a là tham số, x là ẩn số]

Tìm a để số nghiệm của phương trình [1] không vượt quá số nghiệm của phương trình [2].

Cho phương trình: có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm.

Với mỗi số tự nhiên , gọi là số nghiệm của phương trình

.

Tính giới hạn sau

Lời giải

Giả sử là một nghiệm của phương trình , khi đó mọi nghiệm của phương trình trên có dạng

Vì x  0 và y  0 nên .

Suy ra

Suy ra

Kết hợp với , ta có .

Vậy

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

.

Hướng dẫn giải.

Điều kiện :

PT [1] [2]

Đặt , Do

Phương trình [2] trở thành : [3]

Xét hàm số ,

Ta có :

Bảng biến thiên :

Phương trình [1] có nghiệm phương trình [3] có nghiệm

Cho phương trình

.

Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

Hướng dẫn giải.

Với tập xác định , Phương trình đã cho tương đương với

.

Đặt t = thì t   0; 3]

Xét hàm số ;

f’[t] = ; f’[t] = 0  t = - 4 hoặc t = 2.

Bảng biến thiên của hàm số f[t] trên đoạn  0; 3 

Phương trình đã cho có nghiệm x   - 2; 4]  Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f[t], t   0; 3   - 6 ≤ m ≤ - 2

Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực.

Hướng dẫn giải.

Điều kiện: .Đặt với

Ta có: ;

suy ra:

Do nên phương trình trở thành:

Tìm m để pt sau có nghiệm .

Hướng dẫn giải.

. Ta đưa pt về dạng đẳng cấp

Từ pt suy ra

Chia hai vế pt cho , ta được

Đặt , lập bbt với tìm được

P t trở thành [1]

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt [1] có nghiệm thuộc t thuộc [0;2].

Tìm được

[Chuyên Hưng Yên]. Giả sử với hai số dương thì phương trình có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó [là số nguyên dương cho trước].

Hướng dẫn giải

Gọi là các nghiệm của phương trình đã cho.

Theo định lý Vi-et ta có

Theo bất đẳng thức AM - GM ta được

hay

Theo bất đẳng thức

thì

hay

Suy ra , do [*]

Do đó ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau và đều bằng Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Giải phương trình .

Tìm để BPT sau vô nghiệm:

Giải bất phương trình

Chứng minh phương trình: có ít nhất 2 nghiệm với

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: [1]

Xét hàm số:

sao cho

sao cho

Hàm số liên tục trên các đoạn và

phương trình có ít nhất 1 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm

Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.

Cho các phương trình: [1]

[2]

trong đó x là ẩn số và m là tham số [0 < m < 1].

1] Chứng tỏ rằng phương trình [1] có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm.

2] Chứng minh phương trình [2] có nghiệm.

[Chưa giải]

Cho phương trình.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .

[Chưa giải]

Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng:

[Chưa giải]

Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

[Chưa giải]

Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:

[Chưa giải]

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Hãy xét dấu của biểu thức:

Hướng dẫn giải

+ Tập xác định: R.

là tam thức bậc hai có biệt số

+ Pt: có 3 nghiệm phân biệt nên có 2 nghiệm phân biệt và

+ Suy ra: [là hai nghiệm của phương trình ].

+ Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Suy ra

+

+ Vì là 2 nghiệm của phương trình: nên

Do đó: .

suy ra:

+ Vì và nên

Cho phương trình: .

a/ Giải phương trình khi

b/ Tìm để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a:

+Đặt u = v = .

+Ta có hệ

+Hàm số có nên f[u] tăng trên [1; + ].

+ và tăng nên hệ [I] chỉ có một nghiệm: từ đó ta có nghiệm của phương trình là: .

Câu b:

+ ] tăng trên [1; + ] mà nên phương trình có nghiệm khi hay

Giải và biện luận phương trình theo tham số m:

Hướng dẫn giải

[1].

+Điều kiện:

Đặt Phương trình trở thành: .

Xét tam thức bậc hai có:

+Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của [2].Khi đó ta có m = .

+ m = : [2] nên [1]  lgcosx = 0  cosx = 1x =2k, kZ.

+ m =-: [2] nên [1]



+Trường hợp 2: Phương trình [2] có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 [t1  t2]:

.

Với điều kiện [1] có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/; b/

a/ .

Khi đó [2] có hai nghiệm t1, t2 âm nên [1] có các họ nghiệm:.

b/

Khi đó [1]  .

+Kết quả:

+ : [1] có nghiệm: .

+ : [1] có nghiệm:

+ : [1] có nghiệm:

+ [1] có nghiệm .

+ : [1] vô nghiệm.

+ : [1] có nghiệm

+ : [1] có nghiệm: .

BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI

1. Giải phương trình: .

2. Giải phương trình:

3. Cho trước các số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình

có vô số nghiệm nguyên dương.

4. Giải phương trình: . Trong đó a là tham số.

5. Giải phương trình:

6. Giải các phương trình sau:

a] ; b] .

c]

7. Giải phương trình: