Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} - 7x + 10} = 3x - 1\] là:
A.
\[S = \left\{ { - \frac{9}{8}} \right\}\]
B.
\[S = \left\{ 1 \right\}\]
C.
\[S = \left\{ { - \frac{9}{8};\,\,\,1} \right\}\]
D.
Giả sử \[a;\,\,b;\,\,c\] là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Lời giải của GV Vungoi.vn
Đk: \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{3}\\x \ge - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\].
Bất phương trình có nghiệm \[x = 1\]
Ta có: \[\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} \ge {x^3} + 3x - 1\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - 1 + \sqrt {x + 3} - 2 \ge {x^3} + 3x - 4\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left[ {x - 1} \right]}}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \ge \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 4} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left[ {{x^2} + x + 4} \right]} \right] \ge 0\]
Xét \[x < 1\], khi đó \[x - 1 < 0\]
* Vì \[\dfrac{2}{3} \le x < 1\] nên \[0 \le \sqrt {3x - 2} < 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} \le 3\] ;\[\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}} + 2}}\], do đó
\[\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le 3 + \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}} + 2}} = 9 - \sqrt {33} \] [1]
* \[{x^2} + x + 4 = {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{{15}}{4} \ge \dfrac{{15}}{4}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left[ {{x^2} + x + 4} \right]\]\[ \le 9 - \sqrt {33} - \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{21 - 4\sqrt {33} }}{4} < 0\]
Suy ra \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left[ {{x^2} + x + 4} \right]} \right] > 0\] nên \[x < 1\] thỏa bất phương trình.
Xét \[x > 1\], khi đó \[x - 1 > 0\]
Ta có \[\sqrt {3x - 2} > 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} < \dfrac{3}{2}\];\[\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} < \dfrac{1}{4}\]; \[ - \left[ {{x^2} + x + 4} \right] = - {\left[ {x + \dfrac{1}{2}} \right]^2} - \dfrac{{15}}{4}