Tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 12

$a > 1$

- Nếu a>1 thì $a^{f[x]}> a^{g[x]}\Leftrightarrow f[x]> g[x]$[cùng chiều khi $a > 1$]

- Nếu 0 a^{g[x]}\Leftrightarrow [a-1][f[x]- g[x]]> 0$[hoặc xét 2 trường hợp của cơ số].

2.2. Bài tập áp dụng giải bất phương trình mũ

Tham khảo bài tập phương trình bất phương trình mũ kèm đáp án: Tại đây

Ví dụ: Giải bất phương trình mũ $2^{x^{2}-5x+6}> 1$

Giải:

BPT $\Leftrightarrow 2^{x^{2}-5x+6}> 2^{0}$
$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6> 0$

$\Leftrightarrow x < 2$ hoặc $x > 3$

3. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

3.1. Lý thuyết cần nhớ

Tùy vào từng dạng mà ta sẽ có những cách giải bất phương trình mũ khác nhau. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

• Dạng 1: $m.a^{^{2f[x]}}+ n.a^{^{2=a^{^{f[x]}} [t>0] f[x]}}+p> 0$

- Ta đặt: $t= a^{^{2f[x]}} [t>0]$

- Đưa về dạng phương trình ẩn t, ta được phương trình: $m.t^{2}+n.t+p> 0$

- Tương tự, đối với bất phương trình $m.a^{^{3f[x]}}+ n.a^{^{3f[x]}}+p> 0$, ta cũng đặt

$t=a^{^{f[x]}} [t>0]$rồi đưa về phương trình bậc 3 và giải như bình thường.

• Dạng 2: $m.a^{^{2f[x]}}+n.ab^{f[x]}+p.b^{2f[x]}> 0$

-Đầu tiên, chia 2 vế của bất phương trình cho $b^{2f[x]}$, ta được phương trình:

$m.a^{^{2f[x]}}+n.ab^{f[x]}+p.b^{2f[x]}> 0\Leftrightarrow m[\frac{a}{b}]^{2f[x]}+ n[\frac{a}{b}]^{f[x]}$

Đặt $t=[\frac{a}{b}]^{f[x]} [t>0]$ $\Rightarrowm.t^{2}\Rightarrow+n.t+p> 0$

- Tương tự, với bất phương trình $m.a^{^{3f[x]}}+ n.[a^{2}.b]^{f[x]}+p[ab^{2}]^{f[x]}+ q [b]^{^{3f[x]}}> 0$

Ta cũng chia cả 2 vế của bất phương trình cho $[b]^{^{3f[x]}}$sau đó đặt $t=[\frac{a}{b}]^{3} [t>0]$ rồi đưa về phương trình bậc 3:$m.t^{3}+n.t^{2}+p.t+q> 0$ và giải như bình thường:

• Dạng 3:$m.a^{^{2f[x]}}+ n.a^{^{f[x]+g[x]}}+ p.a^{^{2g[x]}}> 0$

- Phân tích bất phương trình, ta có: $m.a^{^{2f[x]}}+ n.a^{^{f[x]+g[x]}}+ p.a^{^{2g[x]}}> 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow m.a^{2[^{f[x]-g[x]}]}+ n.a^{2[^{f[x]-g[x]}]}+p> 0$

Đặt: $t=a^{^{f[x]-g[x]}} [t>0]$ $\Rightarrow m.t^{2}+n.t+p> 0$

3.2. Bài tập áp dụng

Tham khảo bài tập phương trình bất phương trình mũ chọn lọc kèm đáp án: Tại đây

a, $\frac{2^{x-1}-2x+1}{2^x-1{^{}}}\leqslant 0\Leftrightarrow\frac{\frac{2}{2^{x}}-2x+1}{2^x-1{^{}}}\leqslant 0$

Đặt $t=2_{x}; t>0$ bất phương trình trở thành:

$\frac{\frac{2}{2t}-t+1}{t-1{^{}}}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{-t^{2}+t+2}{t[t-1]}\leqslant 0$

$\Leftrightarrow0 < t < 1$ hoặc $t\geqslant 2$$\Leftrightarrow$ $x < 0$ hoặc $x\geqslant 1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: $[-\infty ;0]\cup [1;+\infty]$

4. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp Logarit hóa

4.1. Lý thuyết cần nhớ

Xét bất phương trình dạng: $a^{f[x]}> b^{g[x]} [a\neq; b> 0]$

- Lấy logarit 2 vế với cơ số $a > 1$, ta được bất phương trình: $log_{a}a^{f[x]}> log_{a}b^{g[x]}\Leftrightarrow f[x]> g[x]log_{a}b$

- Lấy logarit 2 vế với cơ số $0 < a log_{a}b^{g[x]}\Leftrightarrow f[x] > g[x]log_{a}b$

4.2. Bài tập áp dụng

Tham khảo ngay bài tập kèm giải bất phương trình mũ: Tại đây

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $2^{x+2} > 3$

Giải:
BPT: $\Leftrightarrow log_{2}2^{x+2} > log_{2}3$
$\Leftrightarrow x+2 > log_{2}3$
$\Leftrightarrow x > log_{2}3-2= log_{2}$
Vậy tập nghiệm là: $[log_{2}\frac{3}{4};+\infty]$

5. Chi tiết cách giải bất phương trình mũ bằng phương pháp xét tính đơn điệu hàm số

5.1. Lý thuyết cần nhớ

Cho hàm số $y=f[t]$ xác định và liên tục trên tập xác định D:

- Nếu hàm số $f[t]$ luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D $thì $f[u] > f[v]\Leftrightarrow u>v$

- Nếu hàm số $f[t]$ luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$thì $f[v] > f[u]\Leftrightarrow u 13$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x+4\geqslant 0 & & \\ 2x+4\geqslant 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geqslant -2$

Bất phương trình tương đương:$3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}> 13$

Xét hàm số $f[x]=3^{\sqrt{x+4}}+2^{\sqrt{2x+4}}-13$ với $x\geqslant -2$

Ta có: $f'[x]=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.3^{\sqrt{x+4}}In3+\frac{2}{\sqrt{x+2}}.4^{\sqrt{x+2}}In4 > 0, \forall x\geqslant -2$

Suy ra: $f[x]$ đồng biến trên $[-2;+\infty]$

+ Nếu $x > 0$ thì $f[x] > f[0]\Leftrightarrow3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}} > 0$ nên $x > 0$ là nghiệm

+ Nếu $-2\leqslant x\leqslant 0$ thì $f[x]\leqslant f[0] \Leftrightarrow3^{\sqrt{x+4}}+4^{\sqrt{x+2}}\leqslant 0 nên -2\leq x\leqslant 0$không có nghiệm

Vậy x > 0 là nghiệm của bất phương trình.

6. Bài tập áp dụng tổng hợp

Để luyện tập thành thạo tất cả các phương pháp giải bất phương trình mũ, VUIHOC đã biên soạn gửi tặng các em bộ tài liệu luyện tập giải bất phương trình mũ siêu chi tiết và đầy đủ các phương pháp trên. Nhớ tải về để làm thử nhé!

Tải xuống bộ bài tập tổng hợp giải bất phương trình mũ

Trên đây là 4 cách giải bất phương trình mũ rất dễ áp dụng, nhanh và chính xác giúp các bạn giải quyết toàn bộ các bài tập về phương trình bất phương trình mũliên quan. Bạn nhớ lưu lại ngay để nhớ cách áp dụng khi làm bài tập nhé. Chúc bạn học tốt!