Bài tập phương pháp quy nạp toán học sin x năm 2024

Tài liệu gồm 131 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Diệp Tuân, phân dạng và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm – tự luận chuyên đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân … từ mức độ cơ bản đến nâng cao; giúp học sinh khối 11 rèn luyện khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3 (dãy số, CSC – CSN).

BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. Dạng 1. Chứng minh đẳng thức. Dạng 2. Chứng minh chia hết. Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức.

BÀI 2. DÃY SỐ. Dạng 1. Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát (un) theo n. Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số. Dạng 3. Dãy số bị chặn.

BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG. Dạng 1. Chứng minh một dãy số (un) là cấp số cộng. Dạng 2. Tìm số hạng đầu tiên u1, công sai d của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên. Dạng 3. Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức. Dạng 4. Tính tổng và tìm x. Dạng 5. Tìm các số hạng của cấp số cộng.

BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN. Dạng 1. Chứng minh một dãy (un) là cấp số nhân. Dạng 2. Xác định số hạng đầu, công bội, xác định số hạng thứ k, tính tổng của n số hạng đầu tiên. Dạng 3. Tìm cấp số nhân (un) dựa vào các tính chất. Dạng 4. Tính tổng của một dãy (un) là cấp số nhân. Dạng 5. Chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân.

• Dãy Số – Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Nội dung Text: Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

1. Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: [email protected] Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương pháp quy nạp tóan học Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng ∀n N * . Ta thực hiện hai bước sau: N - Bước 1: Chứng minh P(1) đúng - Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng ∀n N * . N 2. Dãy số a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N* - Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau: + Dạng khai triển: u1, u2, u3, ..., un, ... với u1 = u(1), u2 = u(2), ... un = u(n), ... + Dạng vắn tắt: (un). Trong đó: u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát + Dãy số hữu hạn: u1, u2, ..., um b) Dãy số tăng – Dãy số giảm - Dãy số (un) tăng nếu u n +1 > u n , ∀, N * - Dãy số (un) giảm nếu u n +1 < u n , ∀, N * n n Dãy số tăng hạy giảm gọi chung là đơn điệu. c) Dãy số bị chặn Dãy số (un) bị chặn �∃ �∀Σ� : n N*, m u n M m, M R - Nếu u n u M thì (un) bị chặn trên - Nếu u n u m thì (un) bị chặn dưới. B. Ví dụ và bài tập Dạng 1. Chứng minh bằng quy nạp 1. Chứng minh: n(n + 1)(2n + 1) a) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , ∀n N * 6 n (n + 1)(n + 2) b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = , ∀n N * N 3 2. Chứng minh: ∀n N * N c) 62 n + 3n + 2 + 3n M a) n + 3n + 5n M b) 4n + 15n − 1M 3 2 3 9 11 3. Chứng minh: ∀n N * N ( n + 1) x nx sin .sin 1.3.5...(2n − 1) 1 2 2 − a) sin x + sin 2x + ... + sin(nx) = b) x 3n + 1 2.4.6...(2n) sin 2 1 1 1 4. Tính tổng: Sn = + + ... + , ∀n N * N n(n + 1) 1.2 2.3 Dạng 2. Xác định một dãy số - Xác định nhờ khai triển các số hạng - Nhờ công thức của số hạng tổng quát - Nhờ công thức truy hồi 3 4 5 6 7 5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1, , ,, , 2+ 2 3+ 3 6 5+ 5 6+ 6
2. Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: [email protected] �π � 1 n 6. Cho dãy số có số hạng tổng quát là: u n = tan � � ∀n N * ,N n 2 �3 � =u1 = 11 , ∀n N * 7. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi sau: = N =u n +1 = 10u n − 9n + 1 Tính un theo n. Dạng 3. Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số - Xét hiệu số: u n+1 – un u n +1 - Hoặc xét tỉ số: (nếu các số hạng đều dương) un 8. Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau: 2n + 1 n +1 2n a) u n = b) u n = c) u n = n n +1 2n − 1 2 �π � 2 +4 1 n n n f) u n = cos � � e) u n = d) u n = n +1 2 �2 � 4n Dạng 4. Khảo sát tính bị chặn của dãy số 9. Xét tính bị chặn của dãy số: �π � 2n + 1 1 n 2n c) u n = cos � � a) u n = b) u n = n +1 2n − 1 2 �2 � 345 10. Cho dãy số (un) xác định bởi: 2, , , ,... 234 a) Xác định (un) b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn. =u1 = 3 = u + 1 , ∀n N * 11. Cho dãy số = N u n +1 = n = = 2 1 a) Chứng minh: u n = 1 + n −2 b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn. 2 1 1 1 12. Chứng minh dãy số: u n = + + ... + tăng và bị chặn trên n(n + 1) 1.2 2.3 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số: 11 1 u n = 1 + 2 + 2 + ... + 2 23 n 14. Chứng minh dãy số sau bị chặn: u n = 1 2 + 4 2 + 4 + 42 bị chặn trên ... 4 42 4 3 n dau can 43 8 5 15. Cho dãy số 1, , , , ,... 5 5 17 13 a) Xác định (un) b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn. 1 1 1 16. Cho dãy số: u n = + + ... + n(n + 2) 1.3 2.4 b) Chứng minh dãy (un) tăng và bị chặn a) Tính un � 1� 1 �� 1 � � 17. Khảo sát tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số: u n = �− �1 − 2 � �− 2 � 1 ... 1 � � 2� 2 �� n � �
3. Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: [email protected] Bài 2. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa a) Cấp số cộng: (un) là cấp số cộng với công sai d � u n +1 = u n + d, ∀n �N * b) Cấp số nhân: (un) là cấp số nhân với công bội q � u n +1 = u n .q, ∀n �N * 2. Số hạng tổng quát: a) Cấp số cộng: u n = u1 + (n − 1)d, ∀n 2 n −1 b) Cấp số nhân: u n = u1.q , ∀n 2 1 . 3. Tính chất của 3 số hạng liên tiếp a) Cấp số cộng: 2u n = u n −1 + u n +1 , ∀n 2 b) Cấp số nhân: u 2 = u n −1.u n +1 , ∀n 2 u . n 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số �− qn � 1 n �( q 1) a) Cấp số cộng: Sn = ( u1 + u n ) b) Cấp số nhân: Sn =q 1 � u , � −q � 1 2 B. Ví dụ và bài tập 1. Cho 3 số theo thứ tự: 2, 6, 3 .4 a) Chứng minh 3 số trên tạo thành cấp số nhân mà không tạo thành cấp số cộng b) Phải thêm vào số hạng thứ hai một số x bằng bao nhiêu để được cấp số cộng? 2. Cho dãy số xác định như sau: u1 = −12 + 22 ; u 2 = −22 + 32 ; u 3 = −32 + 42 ; u 4 = −42 + 52 . Tính un. 3. Tìm 3 số hạng tạo thành cấp số cộng biết tổng 3 số đó bằng -3 và tổng bình phương của chúng bằng 35 1 7 4. Tìm 3 số tạo thành cấp số nhân biết tích và tổng của chúng lần lượt bằng và 64 8 5. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng 1 và số hạng 2 thì ta được cấp số nhân. 6. Tính tổng: S = 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + ... + 992 − 1002 S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 { 7. Tính tổng 50so9 +u1 + u 3 + u 5 + u 7 = 0 8. a) Xác định cấp số cộng (un) biết: + +u 2 + u 4 + u 6 + u 8 = 20 −v1 − v3 + v5 = −65 b) Xác định cấp số nhân (vn) biết: − +v1 + v 7 = −325 9. a) Xác định cấp số cộng (un) biết: S10 = 170 và S12 = 252 b) Xác định cấp số nhân (vn) biết: S4 = 40 và S8 = 680 1 10. a) Xác định cấp số cộng (un) biết: u20 = và S20 = 105 2 b) Tính tổng S8 của cấp số nhân (vn) biết: v8 = 128 và công bội q = - 2 11. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng biết rằng khi cộng thêm -2 vào số hạng thứ hai ta được cấp số nhân. Sau đó, khi cộng thêm 1 vào số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. 212 12. Cho 3 số tạo thành cấp số cộng. Chứng minh a, b, c tạo thành cấp số nhân ,, b−a b b−c a + b a 2 + b2 a n + bn 13. Tính Sn = + 2 2 + ... +a n n 0 b , (a 0, b 0, a 1, b 1) ab ab ab 1 1 1 14. Cho a a 0, a −1 . Tính tổng: Sn = 1 + + + ... + 0 a + 1 (a + 1) (a + 1) n 2