Bài tập toán trang 18 lớp 12
Tìm \(a\) và \( b \) để các cực trị của hàm số \(y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b\) đều là những số dương và \(x_0=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Tập xác định: \(D=ℝ\). * Với \(a=0\) thì hàm số \(y=-9x+b\) không có cực trị. * Với \(a≠0\), ta có: \(y'=5a^2x^2+4ax-9,\,y'=0⇔5a^2x^2+4ax-9=0⇔\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{9}{5a} \\ & x=\dfrac{1}{a} \\ \end{align} \right. \) +) Với \(a<0\) ta có bảng biến thiên Vì \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\dfrac{1}{a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\dfrac{9}{5} \) Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương. \({{y}_{CT}}=y\left( -\dfrac{9}{5a} \right)=y\left( 1 \right)=\dfrac{5{{a}^{2}}}{3}+2a-9+b=-\dfrac{36}{5}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{36}{5} \) +) Với \(a>0\) ta có bảng biến thiên Vì \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\dfrac{9}{5a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=\dfrac{81}{25} \) Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương. \({{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{1}{a} \right)=\dfrac{5}{3a}+\dfrac{2}{a}-\dfrac{9}{a}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{400}{243}\) Vậy \(\left\{ \begin{align} & a=-\dfrac{9}{5} \\ & b>\dfrac{36}{5} \\ \end{align} \right. \) hoặc \(\left\{ \begin{align} & a=\dfrac{81}{25} \\ & b>\dfrac{400}{243} \\ \end{align} \right. \) thì các cực trị của hàm số đều là những số dương và \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại.
|