Tìm \[a\] và \[ b \] để các cực trị của hàm số
\[y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b\]
đều là những số dương và \[x_0=-\dfrac{5}{9}\] là điểm cực đại.
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc I, tìm các điểm cực đại và cực tiếu của hàm số. Sau đó giải phương trình \[y_{CT}>0\] [ vì \[y_{CT}>0\] thì \[y_{CĐ}>0\]].
Tập xác định: \[D=ℝ\].
* Với \[a=0\] thì hàm số \[y=-9x+b\] không có cực trị.
* Với \[a≠0\], ta có:
\[y'=5a^2x^2+4ax-9,\,y'=0⇔5a^2x^2+4ax-9=0⇔\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{9}{5a} \\ & x=\dfrac{1}{a} \\ \end{align} \right. \]
+] Với \[a0\Leftrightarrow b>\dfrac{36}{5} \]
+] Với \[a>0\] ta có bảng biến thiên
Vì \[x_0=\dfrac{-5}{9}\] là điểm cực đại nên \[-\dfrac{9}{5a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=\dfrac{81}{25} \]
Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.
\[{{y}_{CT}}=y\left[ \dfrac{1}{a} \right]=\dfrac{5}{3a}+\dfrac{2}{a}-\dfrac{9}{a}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{400}{243}\]
Vậy \[\left\{ \begin{align} & a=-\dfrac{9}{5} \\ & b>\dfrac{36}{5} \\ \end{align} \right. \] hoặc \[\left\{ \begin{align} & a=\dfrac{81}{25} \\ & b>\dfrac{400}{243} \\ \end{align} \right. \] thì các cực trị của hàm số đều là những số dương và \[x_0=\dfrac{-5}{9}\] là điểm cực đại.
Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc I.
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \[f'[x]\]. Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.