Bài tập về Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Hướng dẫn giải 57 bài tập trắc nghiệm tỉ số thể tích mức độ vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC), giúp học sinh học tốt chương trình Hình học 12 chương 1 (khối đa diện và thể tích của chúng) và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Bài toán 1: Tỉ số thể tích hình chóp tam giác. Bài toán 2: Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành. Bài toán 3: Tỉ số thể tích hình chóp lăng trụ tam giác. Bài toán 4: Tỉ số thể tích hình hộp. Kiến thức khác: Tỉ số thể tích hình chóp chung đỉnh hoặc chung đáy.
Những tin mới hơn Những tin cũ hơn
Tài liệu gồm 56 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề tỉ số thể tích, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Hình học chương 1. I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi). 2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi). 3. Tỉ số thể tích của khối chóp. 4. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ. II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI + Dạng 1. Tỉ số thể tích của khối chóp. + Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ.BÀI TẬP TỰ LUYỆN. LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Tài liệu gồm 134 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Toán, tuyển tập 181 bài tập tỷ số thể tích có đáp án và lời giải chi tiết, với đầy đủ các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Mục lục tài liệu tuyển tập 181 bài tập tỷ số thể tích có đáp án và lời giải: Phần 1. Khối chóp – mức 1: nhận biết (NB) (Trang 1). Phần 2. Khối lăng trụ – mức 1: nhận biết (NB) (Trang 5). Phần 3. Khối chóp – mức 2: thông hiểu (TH) (Trang 6). Phần 4. Khối lăng trụ – mức 2: thông hiểu (TH) (Trang 24). Phần 5. Khối chóp – mức 3: vận dụng (VD) (Trang 35). Phần 6. Khối lăng trụ – mức 3: vận dụng (VD) (Trang 58). Phần 7. Khối chóp – mức 4: vận dụng cao (VDC) (Trang 77). Phần 8. Khối lăng trụ – mức 4: vận dụng cao (VDC) (Trang 122).
Lời giải chi tiết Ta có $V={{S}_{ABCD}}.A{A}'$ và ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABD}}.A{A}'$ Mà ${{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{V}{{{V}_{1}}}=6$ Suy ra $V=6{{V}_{1}}$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'$ và ${{V}_{{B}'BAD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta BAD}}.B{B}'.$ Mà ${{S}_{\Delta BAD}}=\frac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}\xrightarrow[{}]{}k=\frac{{{V}_{{B}'BAD}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{6}.$ Chọn B.
Lời giải chi tiết Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của BC $\Rightarrow \frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ Qua G kẻ đường thẳng $d//BC,$ cắt AB, AC lần lượt tại M, N. $\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ (định lí Talet) $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AM=\frac{2}{3}AB \\ AN=\frac{2}{3}AC \\\end{matrix}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{4}{9}{{S}_{\Delta ABC}} \right.$ (1). Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'$ và ${{V}_{{A}'.AMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.AA'$ (2). Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{V}_{{A}'.AMN}}=\frac{4}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{BMNC,{A}'{B}'{C}'}}=\frac{23}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$ Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{4}{27}:\frac{23}{27}=\frac{4}{23}.$ Chọn B.
Lời giải chi tiết Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$. Suy ra $H{C}'$ là hình chiếu của $A{C}'$ trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$. Do đó $\widehat{\left( A{C}';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( A{C}';H{C}' \right)}=\widehat{AH{C}'}=60{}^\circ $ Tam giác $AH{C}'$, có $AH=A{C}'\sin \widehat{A{C}'H}=2\sqrt{3}$ Diện tích tam giác ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{A{{C}^{2}}}{2}=4$ Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AH=8\sqrt{3}$ Ta có ${{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.AH=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$ Suy ra ${{V}_{ABC{C}'{B}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có $V={{V}_{A{B}'{D}'{C}'}}+\left( {{V}_{A{A}'{B}'{D}'}}+{{V}_{C{C}'{B}'{D}'}}+{{V}_{{D}'DAC}}+{{V}_{{B}'BAC}} \right).$ Mà ${{V}_{A{A}'{B}'{D}'}}={{V}_{C{C}'{B}'{D}'}}={{V}_{{D}'DAC}}={{V}_{{B}'BAC}}=\frac{V}{6}.$ Suy ra ${{V}_{A{B}'{D}'{C}'}}=\frac{V}{3}.$ Từ gia thiết, ta có $\frac{A{B}'}{AN}=\frac{1}{3};\frac{AC}{AM}=\frac{1}{2};\frac{A{D}'}{AP}=\frac{1}{4}.$ Ta có $\frac{{{V}_{A.{B}'{D}'{C}'}}}{{{V}_{A.NPM}}}=\frac{A{B}'}{AN}.\frac{A{D}'}{AP}.\frac{AC}{AM}=\frac{1}{24}.$ $\xrightarrow{{}}{{V}_{A.NPM}}=24{{V}_{A.{B}'{D}'{C}'}}=24.\frac{V}{3}=8V.$ Chọn A. Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng $\frac{1}{3}$của khối lăng trụ tam giác.
Lời giải chi tiết Gọi V là thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Do $A{A}'//B{B}'\Rightarrow {{V}_{M.BC{B}'{C}'}}={{V}_{{A}'.BC{C}'{B}'}}=V-{{V}_{{A}'.ABC}}=V-\frac{V}{3}=\frac{2V}{3}$ Dựng $AH\bot BC$ mà $A{A}'\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( {A}'HA \right)$ Do đó $\widehat{\left( {A}'BC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{{A}'HA}=30{}^\circ \Rightarrow AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}.$ Khi đó $A{A}'=AH.\tan 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{9{{a}^{3}}}{8}.$ Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{M.BC{C}'{B}'}}=2\frac{V}{3}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Công thức giải nhanh ${{V}_{ABC.MNP}}=\left( \frac{m+n+p}{3} \right)V$ với $m=\frac{AM}{A{A}'},n=\frac{BN}{B{B}'},p=\frac{CP}{C{C}'}.$ Áp dụng với: $m=\frac{1}{2};n=\frac{2}{3};p=\frac{2}{3},$ ta được ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{11}{18}V$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Áp dụng công thức tính nhanh, ta được $\frac{{{V}_{AMNPBCD}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{BM}{B{B}'}+\frac{DP}{D{D}'} \right)=\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{8}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMNPBCD}}=\frac{3}{8}.{{\left( 2a \right)}^{3}}=3{{a}^{3}}$. Chọn B
Lời giải chi tiết Trong mặt phẳng $\left( CD{D}'{C}' \right),$kẻ $MN//{C}'D.$ Suy ra $CN=\frac{1}{4}CD$ và ${{V}_{1}}$ là khối đa diện $AB{B}'NCM.$ Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó ${{V}_{AB{B}'.NCM}}={{V}_{AB{B}'CM}}+{{V}_{MACN}}.$
Vậy ${{V}_{1}}={{V}_{ABCM{B}'}}+{{V}_{MACN}}=\frac{7}{32}V\xrightarrow{{}}{{V}_{2}}=\frac{25}{32}\xrightarrow{{}}\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}.$Chọn C Nhận xét: Ta có ${{V}_{MACN}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{V}_{{C}'.ADC}}$ vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần
Lời giải chi tiết Ta có ${{V}_{ADMN}}={{V}_{M.ADN}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta AMD}}$ Lại có $d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=d\left( {A}';\left( ABCD \right) \right)=A{A}'$ Và ${{S}_{\Delta AMD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ABN}}-{{S}_{\Delta CDN}}={{S}_{ABCD}}-\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$ Do đó ${{V}_{ADMN}}=\frac{1}{3}.A{A}'.\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{6}A{A}'.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}{6}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có $\left\{ \begin{matrix} CD\bot D{D}' \\ CD\bot AD \\\end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow CD\bot {A}'D. \right.$ Suy ra ${{S}_{\Delta {A}'CD}}=\frac{1}{2}.{A}'D.CD=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{13}}{2}\xrightarrow{{}}{A}'D=a\sqrt{13}$ Do đó $A{A}'=\sqrt{{A}'{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{13} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=3a.$ Thể tích của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V=A{A}'.AB.AD=6{{a}^{3}}$. Lại có ${{V}_{{A}'.BC{C}'{B}'}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\frac{1}{3}.6{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}.$ Chọn B.
Lời giải chi tiết Lý thuyết bổ sung: Cho hình chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao h, ${{S}_{1}}$ là diện tích tam giác ABC, ${{S}_{2}}$ là diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}'.$ Thể tích khối chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $$ Qua M kẻ đường thẳng $d//BD,$ cắt AD tại N Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( M{B}'{D}' \right)$ là $MN{D}'{B}'$ Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}+{{V}_{{B}'{C}'{D}'.MBCDN}}$ Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$ Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có ${{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}A{A}'.\left( {{S}_{\Delta AMN}}+{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}+\sqrt{{{S}_{\Delta AMN}}.{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}} \right)$ Mà $\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{9}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{S}{18}.$ Và ${{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}=\frac{S}{2}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}h\left( \frac{S}{18}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{18}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{13}{54}V$ Vậy tỉ số thể tích cần tính là $\frac{13}{54}:\left( 1-\frac{13}{54} \right)=\frac{13}{41}.$ Chọn C.
Lời giải chi tiết Tham khảo hình vẽ dưới đây: Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$ Nối $I{C}'$ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M. Suy ra $mp\left( DI{C}' \right)$ chia khối lập phương thành hai khối $IBM.{C}'CD$ và $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$ Vì M là trung điểm của AB mà $BM//CD\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}.$ Ta có $BI//C{C}'\Rightarrow \frac{IB}{C{C}'}=\frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta IBM}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta BA{B}'}}=\frac{1}{8}{{S}_{AB{B}'{A}'}}$ Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được ${{V}_{IBM.{C}'CD}}=\frac{1}{3}BC.\left( {{S}_{\Delta IBM}}+{{S}_{\Delta {C}'CD}}+\sqrt{{{S}_{\Delta IBM}}.{{S}_{\Delta {C}'CD}}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( \frac{S}{8}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{7}{24}.Sh$ Do đó, thể tích khối $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$ là ${{V}_{IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'}}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.$ Vậy tỉ số cần tính là $\frac{7}{24}:\frac{17}{24}=\frac{7}{17}.$ Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: ${{V}_{C.ABNM}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{1}{3}.$ Suy ra ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{C.ABNM}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$ Lại có ${{V}_{C.{C}'PQ}}={{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}$ $\Rightarrow {{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}={{V}_{C.{C}'PQ}}-\frac{2}{3}.$ Mà ${{S}_{\Delta {C}'PQ}}=4{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}$ $\Rightarrow {{V}_{C.{C}'PQ}}=4{{V}_{{C}'.{A}'{B}'{C}'}}=4.\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{4}{3}.$ Vậy ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$ Chọn D. |