Các bài tập biến đổi Z

1.607
lượt xem 78
download

Chương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP [hoặc DTSP], giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự [hoặc liên tục thời gian]. Phân tích Fourier được phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng cũng hữu ích cho tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian. Ta sẽ thấy biến đổi z và biến đổi Fourier liên hệ với nhau. Ta chọn để trình bày biến đổi z sau phân tích Fourieer như nhiều tác giả khác đã làm, nhưng theo trật tự...

Chủ đề:

• xử lý tín hiệu
• tín hiệu số
• phép biến đổi fourier
• miền tần số
• Chuỗi Fourier rời rạc
• tín hiệu rời rạc

Nội dung Text: Chương 4 BIẾN ĐỔI Z

1. 1 Chương 4 BIẾN ĐỔI Z Chương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP [hoặc DTSP], giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự [hoặc liên tục thời gian]. Phân tích Fourier được phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng cũng hữu ích cho tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian. Ta sẽ thấy biến đổi z và biến đổi Fourier liên hệ với nhau. Ta chọn để trình bày biến đổi z sau phân tích Fourieer như nhiều tác giả khác đã làm, nhưng theo trật tự ngược lại cũng thường thấy. Chủ đề chính là: định nghĩa biến đổi z, hữu ích đôi biến đổi, thuộc tính biến đổi, vẽ cực và không, vùng hội tụ, sự ổn định của hệ thống, biến đổi ngược, biến đổi z một bên, lọc bậc hai, đáp ứng chuyển tiếp và hệ thống với điều kiện đầu 4.1 BIẾN ĐỔI Z Phần mở đầu bao gồm nhiều khía cạnh khác nhau của biến đổi z. Giống như những biến đổi khác, biến đổi z áp dụng cho cả tín hiệu và hệ thống rời rạc. Ta biết rằng một hệ thống được đặc trưng bởi phương trình tín hiệu vào ra, hoặc đáp ứng xung của nó, hoặc đáp ứng tần số. Tóm lại ta sẽ thấy đặc tính thứ tư của hệ thống. 4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X[z] của một tín hiệu rời rạc thời gian x[n] được định nghĩa như ∞  x [n ]z -n X[z] = [4.1] n= 0 z là một biến phức của miền biến đổi và có thể xem như tần số phức [xem hình 4.5]. Nhớ rằng chỉ số n có thể là thời gian, không gian hoặc một số thứ khác, nhưng thường là thời gian. Như định nghĩa trên, X[z] là chuỗi mũ nguyên của z 1 tương ứng với những hệ số x[n]. Khai triển X[z] để thấy điều này:   x [ n] z n = x[0] + x[1]z-1 + x[2]z-2 + . . . X[z] = [4.2] n 0 Trong công thức [4.1] tổng được lấy từ n = 0 đến  , X[z] không liên hệ với thời gian quá khứ x[n]. Đây là biến đổi z một b ên. Biến đổi z một bên có thể có thể với điều kiện đầu của x[n] [phần 4.7]. Nhìn chung, tín hiệu tồn tại tại mọi thời gian, và biến đổi z hai bên được định nghĩa như: ∞ ∞ x  n  z -n X[z] = n= - 1 2 2 = …x[-2]z + x[-1]z + x[0] + x[1]z + x[2]z + … [4.3] 1 Vì X[z] là một chuỗi mũ vô hạn của z , biến đổi chỉ tồn tại những giá trị nơi chuỗi hội tụ [tiến tới không khi n   hoặc -  ]. Vì vậy biến đổi z liên hệ mật thiết với vùng hội tụ [ROC] nơi nó là hữu hạn [phần 4.4]. Để phân biệt, ta chú thích X  [ z ] cho biến đổi z một bên. Ví dụ 4.1.1 Tìm biểu diễn toán học của tín hiệu trong hình 4.1, sau đó tìm biến đổi z. Giải [a] Chú ý tín hiệu là nhân quả và giảm đều , nó có giá trị 0.8 n với n  0. Vì vậy ta viết x[n] = 0.8n u[n] và sử dụng biến đổi [4.1]
2. 2   x [ n] z n X[z] = n 0 = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = 1 + [0.8z–1] + [0.8z–1]2 + [0.8z–1]3 + … Ap dụng công thức chuỗi hình học vô hạn [2.8]  1 x , x< 1 n 1 + x + x2 + x3 + … = = [4.4] 1 x n 0 Với x  0.8z 1 ta có 1 z X[z] = = 1 z  0.8 1  0.8 z Kết quả có hình thức của cả hai bên. Điều kiện | 0.8 z 1 |  1 nghĩa | z |  0.8 . x[n] x[n] 1 0.8 1.44 0.64 1 0.512 2 4 -1 0 n -1 0 1 2 3 4 5 n 1 3 5 -1 -1.2 -1.728 [a] [b] [a] Hình. 4.1:Ví dụ 4.1 [b] Tín hiệu thây đổi dương âm với giá trị tăng. Tín hiệu phân kỳ. Sa u một vài lần thử, ta cso thể quyết định biểu diễn toán học của nó như: x[n] = [-1.2]n–1 u[n-1] [4.5] Với [ 1.2 ] n u[n] trễ một đơn vị. Sử dụng công thức [4.1] ta có   x[ n ]z n X[z] = n 0 = 0 + 1.0[z–1] – 1.2[z–1]2 + 1.44[z–1]3 – 1.718[z–1]4 + … = z–1 [1 + [-1.2z–1] + [-1.2z–1]2 + [-1.2z–1]3 + …] z 1 1 1 –1  =z = = 1 1 z  1.2 1  1.2 z 1  1.2 z 4.1.2 Biến đổi z đảo Tín hiệu x[n] và biến đổi của nó X[z] là một đôi biến đổi x[n]z  X[z]  [4.6]
3. 3 Một cách để tìm biến đổi ngược, bất kỳ khi nào có thể, là sử dụng định nghĩa biến đổi z. Phương pháp tổng quát của biến đổi z ngược sẽ được thảo luận trong phần 4.5 và 4.6 Ví dụ 4.1.2 Tìm biến đổi z ngược của những biểu thức sau z [a] X[z] = z  0.8 1 [b] X[z] = z  1.2 Giải [a] Lấy khai triển X[z] sử dụng chuỗi hình hoc vô hạn: z 1 X[z] = = z - 0.8 1-0.8 z -1 = 1 + [0.8z–1] + [0.8z–1]2 + [0.8z–1]3 + … = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 + … Bằng cách so sánh từ thành phần với từng thành phần trong công thức [4.2] ta có x[n] = [1 , 0.8 , 0.64 , 0.512 ; …] Hoặc x[n] = 0.8 n u[n] [b] Biểu diễn được cho không giống như được biến đổi, vì vậy ta viết. z 1 1 1 = z 1 X[z] = = 1  1.2 z 1 1 z  1.2 1  1.2 z Kế đến, lấy khai triển X[z] : X[z] = z–1 [1 + [-1.2z–1] + [-1.2z–1]2 + [-1.2z–1]3 + …] = 0 + 1.0z–1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + … Vì vậy x[n] = [0 ,1.0 , -1.2 , 1.44 , -1.728 , …] Mà có thể diễn tả trong hình thức đóng như sau n 1  x[n] = [–1.2] u[n-1] 4.1.3 Đôi biến đổi z Bảng 4.1 đưa ra nhiều đôi biến đổi z hữu ích, nơi vòng tròng đơn vị là vòng tròn có bán kính 1tâm tại gốc. Tất cả tín hiệu là nhân quả [bên phải], ngoại trừ hai tín hiệu phi nhân quả [bên trái]. Chú ý rằng 1 một biến đổi có thể diễn tả tương đương như một hàm z hoặc z , ví dụ Bảng 4.1 : Đôi biến đổi z thông thường Giảng đồ cực -không Tín hiệu x[n] Biến đổi X[z] ROC j Unit circle 0 -1 1 -j
4. 4 Mẫu đơn vị [n] Tất cả z 1 Bậc đơn vị 1 z [  z > 1 ] 1 z 1 1 z u[n]  z z -1 double Dốc đơn vị   [z  1 ]2   z > 1  [ 1  z -1 ]2 r[n] = nu[n]   Mũ thực  z 1  -1   z > a an u[n] 1  az  z  a  0
5. 5 1 z anu[n]  X[z] = or [4.7b] 1  az 1 za 1  z 1 cos Ω 0 z[z  cos Ω 0 ] [cosn0]u[n] X[z] = or [4.7c] 1  2 z 1 cos Ω 0  z 2 z  2 z cos Ω 0  1 2 Hình thức có nhiều sự phụ thuộc vào cái ta muốn làm với biến đổi [xem phần 4.1.6 , 4.3 và 4.6]. 4.1.4 Biến đổi z cho hệ thống Biến đổi z áp dụng cho tín hiệu cũng như hệ thống vì hệ thống được trình bày bằng đáp ứng xung của nó. Mà nó là hàm có chỉ số n giống như tín hiệu. Vì thuộc tính này mà biến đổi z hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống vì tín hiệu và hệ thống tương tác nhau. Đặc biệt, biến đổi z của đáp ứng xung h[n] là   h[ n] z n [Biến đổi 1 bên] H[z] = [4.8] n 0 Hoặc   h [ n] z n [Biến đổi hai bên] H[z] = [4.9] n   Phụ thuộc hệ thống là nhân quả hoặc phi nhân quả. H[z] được gọi là hàm truyền hoặc hàm hệ thống Ví dụ 4.1.3 Một hệ thống có đáp ứng xung h[n] = [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] Tìm hàm truyền. Giải Hệ thống là một FIR phi nhân quả. Hàm truyền của nó được cho bởi công thức [4.9]:  3  h [ n] z  h [ n] z n n H[z] = = n  2 n   = z 2  2 z 1  3  4 z 1  5z 2  6 z 3 Ngược lại, nếu biết H[z] như trên ta có thể dễ dàng có h[n] .  4.1.5 Hàm riêng và trị riêng Ta biết nếu đáp ứng tần số của một hệ thống là H[  ] thì với ngõ vào x[n] = e jn , ngõ ra là y[n] = e jn H[  ] như trong [3.69b]. Vì điều này , e jn là hàm riêng, và H[  ] là trị riêng của hệ thống. Bây giờ, với đầu vào x[n] = zn [4.10] ngõ ra hệ thống là      h[k]z  h[k]z nk k y[n] = h[n]  x[n] = = zn     k 0 k 0 Trong ngoặc là H[z] , thì y[n] = z n H[z] [4.11] n Vì vậy trong miền biến đổi z, z là hàm riêng, và H[z] là trị riêng của hệ thống 4.1.6 Hàm truyền trong những thành phần của hệ số lọc Đầu tiên, với phương trình lọc tổng quát [công thức [2.21]]
6. 6 N M  a y [n  k ] +  b x[n  k ] y[n] = [4.12] k k k  M k 1 Với a k và bk là những hệ số lọc [hằng số]. Bây giờ ta thay x[n] = z n và y[n] = z n H[z] để có M N b z a nk nk n z H [z] + z H[z] = k k k  N k 1 Từ công thức này ta rút ra biểu diễn của H[z] cho lọc đệ qui, kết quả là M bz k k k  M [lọc đệ qui] H[z] = [4.13a] N 1   ak z k k 1 Với lọc không đệ qui, mẫu bằng 1, vì vậy M bz k H [ z]  [lọc không đệ qui] [4.13b] k k  M Nó thì hầu như chú ý rằng hàm truyền bên trên có kết quả từ công thức lọc [4.12] . Một số tác gải viết công thức ở dạng khác [ví dụ, tất cả thành phần y ở bên trái của công thức], điều này dẫn đến sự biểu diễn khác của H[z] . Ý tưởng ở đây là khi công thức lọc được cho, ta thu thập những hệ số của nó để đặt vào sự biểu diễn của H[z] mà không cần lấy biến đổi z. Ngược lại, nếu biết H[z] thì ta biết những hệ số lọc. Ví dụ 4.1.4 Cho 2 z 2  3z [a] H[z] = z 2  0.5 z  0.8 -20 z 2  5 z [b] H[z] = 10 z 3  5 z 2 -8 z  1 Tìm phương trình tín hiệu. Giải 1 2 [a] Viết H[z] như hàm của z bằng cách nhân tử số và mẫu số với z : 1 1 2  3z 2-3z  H[z] = 1 2 1  [0.5 z 1  0.8 z 2 ] 1  0.5 z  0.8 z Những hệ số là b0 = 2 b 1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8 Vì vậy công thức lọc là y[n] = -0.5y[n-1] – 0.8y[n-2] + 2x[n] - 3x[n-1] 3 3 [b] Nhân tử số và mẫu số với 0.1 z để làm 10z ở mẫu bằng 1  2 z 1  5 z 2 H[z] = 1  0.5 z 1  0.8 z 2  0.1z 3 Thu thập những hệ số: b1 = -2 b2 = 5 a1 = -0.5 a2 = 0.8 a3 = _0.1 Vì vậy công thức lọc là
7. 7  y[n] = -0.5y[n-1] + 0.8y[n-2] + 0.1y[n-3] -2x[n-1] + 5x[n-2] 4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI Z Trong chương này nhiều thuộc tính [một số có thể xem như định lý] của biến đổi z hai bên được trình bày. - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời gian - Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian [DTFT] - Khác Không phải tất cả những thuộc tính trên được xem xét chi tiết . Về sau đôi biến đổi z được hiểu như x[n]  X[z]. 4.2.1 Tuyến tính Tuyến tính có thể diễn tả như a1x1[n] + a2x2[n]  a1X1[z] + a2X2[z] [4.14] Với a1 , a 2 là hằng số. Hình thức giống nhau áp dụng cho nhiều tín hiệu. Vì vậy tuyến tính nghĩa kết nối tuyến tính của ngõ vào đưa ra kết nối tuyến tính ngõ ra. Với biến đổi z và nhiều biến đổi khác tuyến tính là thu ộc tính cơ bản và quan trọng. Nó cho phép ta tìm biến đổi và biến đổi ngược khi ở đây là sự kết nối của nhiều thành phần. Ví dụ 4.2.1 Tìm biến đổi z của tín hiệu cosin nhân quả x[n] = [cosn 0 ] u[n] Giải Biểu diễn x[n] ở dạng những thành phần của mũ phức: 1 jnω0 1 e u[n] + e  jnω0 u[n] x[n] = [cosn 0 ] u[n] = 2 2 thì 1 1 Z [e jnω0 u [n]] + Z [e jn0 u [n]] X[z] = 2 2 Biến đổi từng thành phần 1 e jn0 u[n]    1  e jω0 z 1 1 e  jn0 u[n]     jω0 1 1 e z Vì vậy 1 1 1 1 X[ z ]    jω0 1 jω0 1 2 1 e z 2 1 e z 1  z 1 cos ω 0   1  2z 1 cos ω 0  z 2 4.2.2 Dịch thời gian Đầu tiên xem biến đổi z của mẫu đơn vị [cũng là xung đơn vị] [n] và xung trễ của nó [n-n0]:
8. 8    δ[n]z n = z n X[z] = =1 z 0 n 0    δ[n  n ] z  n0 n = z n =z X[z] = z  n0 0 n 0 n Vì trễ của n 0 mẫu tương ứng với thừa số z 0 của biểu diễn biến đổi. Bằng sự biểu diễn tín hiệu x [n] vào những thành phần của mẫu đơn vị và áp dụng tính tuyến tính ta có kết quả tổng quát  n0 x[n – n0]  X[z] z [trễ thời gian] [4.15a]  n0 x[n + n0]  X[z] z [Trước thời gian] [4.15b] 1 Vì điều này, ta sử dụng chú thích z cho trễ đơn vị và z cho tới trước đơn vị trong giảng đồ khối của hệ thống [phần 1.4.2]. Ví dụ 4.2.2: Mẫu đơn vị là sự trừ nó với mẫu chậm một đơn vị u[n] – u[n-1] = [n] Tìm biến đổi z [a] Bậc đơn vị nhân quả x[n] = u[n] [b] Bậc đơn vị phi nhân quả x[n] = -u[-n-1] Nhớ rằng u[n] cũng được gọi là tín hiệu bên phải, và -u[-n-1] hoặc u[-n-1] tín hiệu bên trái, trong khi đó một tín hiệu tồn tại cả hai bên âm và dương được gọi là tín hiệu hai bên [1.62]. Giải [a] Ta viết x[n] – x[n-1] = u[n] – u[n-1] = [n] Lấy biến đổi z hai bên, sử dụng thuộc tính dịch thời gian X[z] – z–1 X[z] = 1 Hoặc 1 z X[z] = = 1 z 1 1 z u[n] 1 ... 0 2 n -2 3 -1 ° ° 1 -u[-n -1] ° ... ° n -3 -2 -1 2 1 0 -1 Hình. 4.2: Ví dụ 4.2.2 [b] Với tín hiệu phi nhân quả ta viết
9. 9 x[n] – x[n-1] = -u[-n-1] + u[-[n-1] – 1] = u[-n] – u[-n-1] = [-n] Nhớ rằng [-n] là [n] [xem 1.4.1], vì vậy biến đổi hai bên cho bởi X[z] – z–1 X[z] = 1 Hoặc 1 z X[z] = = 1 z 1 1 z Chú ý rằng hai tín hiệu [a] và [b] có biểu diễn khác nhau trong miền thời gian cũng như trong miền tần số nhưng chúng giống nhau trong biến đổi z. Tuy nhiên hai biến đổi có vùng hội tụ khác nhau [xem 4.4]. Ví dụ 4.2.3 Tìm biến đổi z của xung chữ nhật nhân quả có N mẫu p[n] = 1 , 0 n  N-1 0 , khác p[n] 1 … 1 2 3 -2 n -1 N-1 N 0 N+1 Hình. 4.3:Ví dụ 4.2.3 Giải Ta có thể áp dụng trực tiếp định nghĩa [4.1] để tìm biến đổi, Mặc khác ta viết xung chữ nhật dưới dạng p[n] = u[n] – u[n – N] Lấy biến đổi, sử dụng thuộc tính trễ: P[z] = Z[u[n]] – Z[u[n–N]] = Z[u[n]] – z–NZ[u[n]] = [1 – z–N] Z[u[n]] 1  z N  = 1  z 1 4.2.3 Nhân chập thời gian Như biến đổi Fourier, thuộc tính mạnh và quan trọng nhất [định lý] của biến đổi z cho khía cạnh ứng dụng là nhân chập thời gian, được phát biểu như: Nhân chập của hai hàm thời gian tương ứng với nhân thường trong miền biến đổi z. x1[n]  x2[n]  X1[z] X2[z] [4.16] Như thông thường, nhân chập là kết quả ngõ ra khi nhân chập tín hiệu vào x[n] với đáp ứng xung của hệ thống h[n]. x[n]  h[n]  X[z] H[z] [4.17] Với H[z] là hàm truyền. Sự hội tụ này được minh họa trong hình 4.4. Tín hiệu ngõ ra trong miền thời gian được cho bởi
10. 10 Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hệ thống y[n] = x[n]  h[n] h[n] Miền thời gian: x[n]  [Nhân chập] z Z Z Miền z : X[z] H[z] Y[z] = X[z] H[z] Hình. 4.4: Sơ đồ chuyển miền thời gian sang miền z và thuộc tính nhân chập thời gian. y[n] = x[n]  h[n] và miền z bằng Y[z] = X[z] H[z] Từ điều này Y [ z] H[z] = [4.18] X [ z] Vì vậy hàm truyền [hoặc hàm hệ thống] của một hệ thống là tỉ số của biến đổi z của ngõ ra với biến đổi z ngõ vào. Điểm này cho ta quyết định hàm hệ thống và biến đổi ngược, đáp ứng xung. Chứng minh: Thuộc tính nhân chập được minh họa như sau: Đầu tiên ta viết   x [k]x [n  k] x[n] = x1[n]  x2[n] = 1 2 k   Lấy biến đổi z      x[z]z n =  k x1[k]x2[n  k] z n X[z] = n       n   Thay đổi trật tự của tổng và sử dụng thuộc tính trễ thời gian:      x [k ]   x [n  k ] z  n  X[z] = 1 2   k   n     x [k ] z k = X2[z] = X2[z] X1[z] = X1[z] X2[z] 1 k   Ví dụ 4.2.4 Áp một chuỗi đầu vào x[n] = [1 , 2 , -1 , -2 , 1 , 2] đến hệ thống có đáp ứng xung là h[n] = [0 , 1 , 2] Tìm tín hiệu ngõ ra. Giải Lấy biến đổi z của x[n] và h[n] : X[z] = 1 + 2z–1 - z–2 - 2z–3 + z–4 + 2z–5 H[z] = 0 + z–1 + 2z–2 Biến đổi ngõ ra là Y[z] = H[z] X[z]
11. 11 = z–1 + 4z–2 + 3z–3 - 4z–4 - 3z–5 + 4z–6 + 4z–7 Những hệ thống X[z] cấu thành tín hiệu y[n] y[n] = [0 , 1 , 4 , 3 , - 4 , -3 , 4 , 4]  Nếu ta nhân chập x[n] với h[n], e.g. bằng phương pháp hình học [phần 2.2.2], ta có cùng kết quả. Ví dụ 4.2.5 Để định nghĩa một hệ thống DSP chưa biết [gồm phần cứng và phần mềm], ta áp một tín hiệu x[n] và lấy ngõ ra y[n] như sau: x[n]  [1, 2,  1,  2,1, 2] y[n]  [0,1, 4, 3,  4,  3, 4, 4] Tìm đáp ứng xung. Đây là vấn đề về định nghĩa hệ thống Giải Ví dụ này giống như ví dụ 2.3.5 nhưng ta tính nó trong miền thời gian. Ở đây sử dụng biến đổi z, ta có X [ z ]  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5 Y [ z ]  z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7 Vì vậy hàm truyền là z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7 H [ z]  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5 Mà có thể đơn giản H [ z ]  z 1  2 z 2 Hệ thống ổn định [xem phần 4.4]. Đáp ứng xung là biến đổi ngược h[n]  [0,1, 2]  4.2.4 Một số thuộc tính khác Ở đây có nhiều thuộc tính của biến đổi z, sau đây là một số thuộc tính. [a] Đảo thời gian x[-n]  X[z–1] [4.19] Chứng minh:    x [  n] z  x[k ][ z n 1 k ] = X[z–1] Z[x[-n]] = = n   k   Ví dụ 1 1 u[n]   u[-n]  1  z 1 1 z [b] Tỉ lệ với mũ rời rạc X[a–1z] anx[n]  [4.20] Chứng minh:    a n x [ n] z  n =  x [ n] [ a 1 z ] n = X[a–1z] Z[an x[n]] = n   n   Ví dụ biết biến đổi của [cos  0n]u[n] có thể dễ dàng tìm biến đổi an[cos  0n] u[n] [bảng 4.1]. [c] Nhân thời gian
12. 12 Ta có thuộc tính này với biến đổi Fourier nhưng diễn tả trong miền z là tích phân so với nhân chập: 1 z 1 C X 1 [ν ] X 2 [ ν ]ν dν x1[n] x2[n]  [4.21] 2π j Với C là tích phân vòng quanh gốc và nằm bên trong vùng hội tụ của X1 và X2 . [d] Vi phân trong miền z dX[z] nx[n]   z [4.22] dz Chứng minh: Lấy vi phân cả hai bên của định nghĩa [4.3], ta có   dX [ z ]   x[n] [-n]z  n1 = -z 1  [nx[n]]z n dz n   n   =  z 1 Z [nx[n]] Là hình thức khác của thuộc tính được nói ở trên. Ví dụ tìm biến đổi z của tín hiệu X[n] = na n u[n] Ta gọi x 1 [n] = a n u[n] Biến đổi z của x 1 [n] [bảng 4.1] là 1 X 1 [z] = 1  az 1 Vì vậy az 1 dX 1 [ z ] X[z] =  z = [1  az 1 ] 2 dz [e] Liên hiệp phức x * [n] ↔ [ X [ z * ]]* [4.23] [f] Giá trị đầu x[0] = lim X[z] [4.24] z  Ý nghĩa của thuộc tính này là nếu ta biết X[z] và muốn tìm x[0] thì ta không cần lấy biến đổi z ngược. [g] Giá trị cuối lim x[n] = lim[[ z  1] X [ z ]] [4.25a] n z 1 Ý nghĩa của thuộc tính này thì giống như trên nhưng trường hợp này ta biết giá trị cuối của x[n]. Một ứng dụng của thuộc tính này là tìm đáp ứng trạng thái ổn định [phần ….] của hệ thống với đầu vào là một bậc đơn vị. Biến đổi z của bậc đơn vị [bảng 4.1] được cho bởi Vì vậy đáp ứng trạng thái ổn định của hệ thống H[z] ứng với một bậc đơn vị ở ngõ vào được cho bởi [4.25b]
13. 13 Khi thay z bằng trong H[z] ta sẽ có đáp ứng tần số H[ω]. Vì vậy z = 1 ứng với ω = 0, và đáp ứng H[ω] là đáp ứng tần số tại không [DC]. Trong ví dụ…, phương trình hệ thống là y[n] = 0.8y[n – 1] + x[n] và đáp ứng bậc tìm được có dạng Với 5.0 là giá trị ổn định cuối cùng. Không đi từ phương trình tín hiệu cho trên, hàm truyền của nó có thể được tìm thấy Vì vậy giá trị cuối của đáp ứng bậc từ [4.25b] là Như mong muốn Chú ý giới hạn [4.25b] chỉ tôn tại nếu ROC của [z - 1]H[z] bao gồm đường tròn đơn vị circle. 4.2.5 Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian [DTFT] Tương ứng với tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z liên hệ với biến đổi Fourier cùng cách như biến đổi Laplace liên hệ với biến đổi Fourier với hệ thống và tín hiệu liên tụ c. Để làm điều này ta thay z = ej  [4.26] vào định nghĩa [4.3] của biến đổi z và có   x[n]e  jn X[  ] = [tín hiệu] n     h[n]e  jn H[  ] = [hệ thống] n -  Im[z] j  = mặt phẳng z 2 z = ej  1 =0   = -1 1  = - Re[z] 0 Đường tròn   =- -j đơn vị 2 Hình.4.5: Dọc theo đường tròn đơn vị, biến đổi z là biến đổi Fourier Với biến đổi Fourier ta biết [3.39] và [3.60]]. Nhớ rằng cả X[  ] và H[  ] là tuần hoàn với chu kỳ 2 . Ta kết luận H[  ] = H  z  jω  z = e [4.27] Sự liên hệ giữa X[  ] và X[z] là giống nhau Biên độ và pha của z tương ứng với  là
14. 14 z = ej   = 1 z = ej   =  Vì vậy biến đổi Fourier là biến đổi z khi z nằm trên đường tròn đơn vị [hình 4.5]. Khi z di chuyển dọc theo đường tròn này tần số  thay đổi theo. Như vậyX[  ] và H[  ] có chu kỳ 2, ta xem chúng chỉ tuần hòan trong chu kỳ 2  , thường trong khoảng [-  ,  ] or [0 , 2  ]. 4.3 GIẢNG ĐỒ CỰC KHÔNG Biến đổi z của tín hiệu và hệ thống thực LTI [LSI] là hàm tỉ sổ hai đa thức c ủa z, ta viết N [ z] X[z] or H[z] = D[ z ] Với N[z] là đa thức tử và D[z] đa thức mẫu. Sau đây ta viết X[z] hoặc H[z] hoán đổi nhau, ngoại trừ khi tham chiếu đến tín hiệu và hệ thống đặc biệt . 4.3.1 Giản đồ cực-không và đặc điểm tín hiệu Lấy z1, z2, z3 … là nghiệm của N[z], và p1, p2, p3 … là nghiệm của D[z], sau đó biến đổi z có thể đặt trong hình thức L z  z k   N[z] G [ z  z1 ][ z  z 2 ][ z  z 3 ]... z-z L   G k 1 H[z] = = [4.28] D[z] [ z  p1 ][ z  p 2 ][ z  p3 ]... z-pM  M  z-p  k k 1 Với G là thừa số độ lợi; z1, z2, z3 … là những zero mà làm cho H[z] tiến tới zero; và p1, p2, p3 … là cực mà làm cho H[z] tiến tời vô cực, L là bậc của tử số, M lầ bậc của mẫu số. H[z] là một đa thức thích hợp khi L  M [bậc j tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số]. của Im [ z ] -1 z-plane Unit circle 0 1 1Double pole R e [ z] -j [b] r[n] [a] u[n] a 1 1 Hình .4.6: Giản đồ cực-không của một số hệ thống đơn[d] giản [n] [c] –an u[-n-1] Trên là những cực-không hữu hạn. Bên canh đó, khi biến z trong mẫu số tiến tới vô hạn, X[z] tiến tới không, đây là một không vô hạn. Giống như vậy, khi z trong tử số tiến tới vô hạn, X[z] tiến tới vô hạn, đây là một cực vô hạn. Khi bậc M của tử số nhỏ hơn bậc N củ a mẫu số, ở đây sẽ là một không vô hạn của bậc M-N, và khi M > N ở đây sẽ là một cực vô hạn của bậc M – N. Với hầu hết trường hợp ta bở qua cực và không vô hạn. Phân phối của cực và không của X[z] trong mặt phẳng z là giản đồ cực-không. Fig.4.6 shows the pole – zero plot for sereval simple signals. Notice the unit sample [n] is very special in that it is the only function which doesn’t have any pole and zero .
15. 15 Giản đồ cực-không thì rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống lọc số. Hình 4.7 chỉ mối liên hệ giản đồ cực-không và đặc tính của hệ thống [hoặc tín hiệu]. Thật sự chỉ vị trí cực ảnh hưởng đến đặc điểm của tín hiệu. ... ... n n 1 0 1 0 Convergent Convergent [stable] [stable] x[n] x[n] ... ... n n 1 0 1 0 Oscillatory oscillatory [Marginally Stable] [Marginally Stable] x[n] x[n] ... ... n n 1 0 1 0 Divergent Divergent [Unstable] [Unstable] Hình. 4.7: Liên hệ giữa vị trí cực và đặc tính của b[n] = anu[n] với những giá trị khác nhau của a. Khi tín hiệu x[n] hoặc đáp ứng xung h[n] có giá trị thực, những cực và không là thực hoặc xuất hiện trong đôi liên hợp phức. Ví dụ 4.3.1 Tìm giản đồ cực-không của hệ thống tương ứng với hàm truyền. z 2  z 3 H[z] = 1  3.6z 1  4.59z 2  2.38z 3  0.39z 4 Giải 4 Nhân cả tử và mẫu bởi z , ta có z2  z N [ z]  H[z] = z  3.6 z  4.59 z  2.38 z  0.39 D[ z ] 4 3 2 Thừa số tử và mẫu: N[z] = z[z+1] D[ z ]  [ z  1] 2 [ z 2  1.6 z  0.39] Vì vậy những không của hệ thống là  z[z+1] = 0 z = 0, z = -1 và những cực là [z–1]2[z2 – 1.6z + 0.39] = 0  z = 1[kép], z = 0.8 + j0.5 , z = 0.8 – j0.5 Hình. 4.8 là giản đồ cực –không của hệ thống.
16. 16 Im[z] Unit circle 0.5 1 [double] -1 0 0,8 Re[z] –0.5 Hình. 4.8: Ví dụ 4.3.3[giản đồ cực-không] Chú ý rằng với mục đích tìm cực và không ta biến hàm H[z] của z 1 thành hàm của z.  4.3.2 Vẽ biên độ của X[z] , H[z] Đây là những hàm trong Matlab mà cho phép ta vẽ biên độ |X[z]| or | H[z]| trong không gian ba chiều tương ứng với trục thực và ảo z. Hình 4.9 là một |H[z]| Im[z] Unit circle Re[z] Hình 4.9: Vẽ biên độ của H [ z ]  [ z  1] /[ z  1] Ví dụ về vẽ những chiều z của hàm truyền có một cực và một không. 4.3.3 Cực và không tại gốc Cực và không tại gốc của một hệ thống không ảnh hưởng đến đáp ứng bên độ và pha nhưng ảnh hưởng đến thời gian đáp ứng của nó, nghĩa là, đáp ứng đến sớm hay muộn so với thời gian khi áp tín hiệu vào. Đặc biệt, một không sẽ chậm một đơn vị thời gian, ngược lại một cực tại gốc sẽ tăng đáp ứng một đơn vị thời gian. Ta tự do cộng thêm cực và không đến hệ thống, bằng cách cộng những thừa số thích hợp vào tử và mẫu đề đáp ứng hệ thống ngay lập tức hoặc hệ thống trở thành nhân quả. Ví dụ, xét hàm truyền 1 H[z] = z[z  1 ] [z  2 ] Có ba cực tại z = 0,1 và 2 . Phương trình tín hiệu có thể được tìm như là
17. 17 y[n] = 3y[n-1] – 2y[n-2] + x[n-3] mà chỉ rằng ngõ ra tín hiệu phụ thuộc ngõ vào tín hiệu tại 3 thời điểm trước đố. Để hệ thống đáp ứng ngay lập tức, ta cộng thêm 3 đơn vị thời gian bằng 3 không tại gốc. Hàm truyền trở thành. z3 H[z] = z[z  1 ] [ 2 z  1 ] Tương ứng với phương trình tín hiệu y[n] = 3y[n-1] – 2y[n-2] + x[n] Vì vậy, với một hệ thống đáp ứng ngay lập tức với ngõ vào, hàm truyền phải có số cực và không bằng nhau, hoặc bậc của tử và mẫu trong đa thức phải bằng nhau. 4.3.4 Hủy cực-không Trong đa thức của biến đổi z nếu một không hủy một cực, đôi cực-không này là hủy lẫn nhau. Vì vậy giảm bậc của đa thức, và sự đơn giản theo sau phương trình tín hiệu. Kỹ thuật hủy cực –không thỉnh thoảng được sử dụng trong xử lý tín hiệu số và thiết kế hệ thống điều khiển. Ngõ ra là một sự tương tác giữa ngõ vào và hệ thống, vì vậy ta có thể chọn hệ thống để hủy cực và không của tín hiệu vào. Hủy cực -không có thể xuất hiện với hệ thống. Vấn đề là khi hủy cực không nếu không hoàn toàn sẽ có hiệu ứng chiều dài từ hữu hạn, và những lý do khác, hệ thống được thiết kế trở nên bất ổn định. Ví dụ 4.3.2 Cho hệ thống y[n] = 2.5y[n – 1] – y[n – 2] + x[n] – 5x[n – 1] + 6x[n – 2] áp dụng điều kiện hủy cực –không. Tìm đáp ứng xung của hệ thống được rút gọn. Giải Sử dụng đặc tính trì hoãn của biến đổi z vào phương trình hệ thống vào ra trên Sắp xếp lại: Để có hàm truyền: Vì vậy cực tại p = 2 và không tại z = 2 có thể hủy bỏ lẫn nhau, kết quả hình thành một lọc bậc thấp hơn có phương trình dạng Để tìm đáp ứng xung ta khai triển H[z] Biến đổi z ngược ta có đáp ứng xung: Ta có thể tìm đáp ứng xung từ phương trình tín hiệu nhưng ta dùng cách khác diễn tả đáp ứng xung  gần đúng như hình thức ở trên. Ví dụ 3.4.3 Tìm đáp ứng của hệ thống Với ngõ vào
18. 18 Giải Sử dụng biến đổi z như ví dụ trên ta có hàm biến đổi Chú ý hệ thống thì ổn định. Biến đổi z của tín hiệu vào là Chú ý X[z] có một không tại trùng khớp với cực của H[z], vì vậy xuất hiện sự hủy cực-không trong biểu thức ngõ ra: Biến đổi z đảo cho Với hàm truyền khác, sự hủy cực không sẽ không xảy ra và tín hiệu ngõ ra sẽ có cùng thành phần cộng. 4.3.5 Tìm đáp ứng tần số bằng phƣơng pháp hình học Ta biết rằng biến đổi z khi z giới hạn trong vòng tròn đơn vị là DTFT. Vì vậy đáp ứng tần số, có thể tính xấp xỉ bằng phương pháp hình học. Xem ví dụ đơn giản, có hàm truyền. z  0.8 H[z] = z  0.8 Có một không tại z = 0.8 và một cực tại p = -0.8 . Với đáp ứng tần số ta thay z = ej  : e jω  0.8 H[  ] = e jω  0.8 Tử số trình bày vector Z từ z bằng không đến điểm z = ej  trên vòng tròn đơn vị, và mẫu số bằng vector P từ cực P đến cùng điểm z [hình 4.10]. Ta chú thích  cho gốc pha. Vì vậy Z Z Z Z H [ω] =   [ Z  P] [4.29] P P P P H[  ] Im[z] . z = ej  10 [  ] 8 P 1 Z 6 Z ω P p 0 z Re[z] 4 -[0.8] [0.8] 2 1 1/9   - -/2 0 /2 [b]
19. 19 [a] Hình. 4.10: Đáp ứng tần số bằng phương pháp hình học Chú ý rằng đáp ứng pha là gốc nhìn từ điểm z trên vòng tròn đơn vị đến cực p và z bằng 0. Đáp ứng biên độ và pha tương ứng. Z H[  ] = P [  ] =  [Z – P] Xem một vài trường hợp đặc biệt với sự tính toán là đơn giản 1  0,8 1  Tại  = 0: H[0] = H[0] = 0 – 0 = 0 rad = , 1  0,8 9 1  0,8  Tại  = : H[] = H[] =  –  = 0 rad =9 , 1  0,8 π π π π  Tại  = : H[ ] = 1  H[ ]  rad , 2 2 2 2 Ta di chuyển điểm z dọc theo vòng tròn đơn vị, tại vị trí được chọn, ta tính và đo chiều dài tương ứng và gốc pha. Kết quả đáp ứng biên độ chỉ trong hình 4.10b. Để có đáp ứng chính xác hơn, ta cần ít nhất một giá trị khác tại   3 4 . Khi hàm truyền có nhiều cực và không, đáp ứng là Z1 Z 2 Z 3  H[  ] = [4.30a] P1 P2 P3  [  ] =  [[Z 1  Z 2  Z 3  ]  [P  P2  P3  ]] [4.30b] 1 Dù phương pháp hình học chỉ xấp xỉ, nó cho phép ta ước lượng nhanh chóng kết quả thiết kết và sau đó tiến hành thêm/bỏ cực và không để có được hệ thống như mong muốn. 4.4 VÙNG HỘI TỤ [ROC], SỰ ỔN ĐỊNH Chuỗi định nghĩa biến đổi z [4.3] có thể phân kỳ và định nghĩa trở thành vô nghĩa. Vùng hội tụ [ROC] là vùng nơi biến đổi z X[z] hoặc H[z] hội tụ. ROC cho ta quyết định thuộc tính biến đổi z ngƣợc . Đầu tiên xét một số ví dụ Mẫu đơn vị [n] có biến đổi z là 1, vì vậy ROC là toàn bộ mặt phẳng z  Tín hiệu [n+k] với k>0 có biến đổi z là zk , vì vậy ROC là tất cả mặt phẳng z, ngoại từ tại z =  . Tín hiệu x[n] = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] có biến đổi z  X[z] = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ tại điểm z=0 [gốc]. Tín hiệu h[n] = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] có biến đổi z  H[z] = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2 ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoại trừ tại z = 0 và z = 
20. 20 4.4.1 ROC của hệ thống nhân quả và không nhân quả Bây giờ ta xem ROC của hai tín hiệu cơ bản: nhân quả và không nhân quả. Tín hiệu nhân quả Xét ví dụ, x[n] = 0.8nu[n] = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , …    [0.8z  1 n 0.8n u [n] z  n = ] X[z] = n 0 n  1 0.8 z 1  1 = , 1  0.8 z 1 Trên, sử dụng công thức chuỗi hình học [2.8]. Điều kiện 0.8z-1< 1 nghĩa rằng z> 0.8 . Vì vậy ROC là tất cả vùng ngoài vòng tròn bán kính 0.8. [Hình 4.11a]. Chú ý rằng biến đổi có không tại gốc và cực tại z=0.8. [b] Tín hiệu phi nhân quả. Xét ví dụ x[n] = -0.8nu[-n-1] 1    0.8 z n . =   [0.8 1 z ]n =   [0.8 1 z ]n  1 X[z] =  n n 0 n   n 1 Lấy tổng, ta có 1 1 0.8 1 z  1 X[z] =  1  , 1 1  0.8 z 1 1  0.8 z Điều kiện 0.8-1z < 1 nghĩa là z< 0.8. Vì vậy ROC có vùng hội tụ bên trong vòng tròn bán kính 0.8 [hình 4.11b]. Nhìn chung ta có 1  ROC: z> a Nhân quả anu[n] , [4.31] 1  az 1 [Bên phải] 1  ROC:  z< a Phi nhân quả: –anu[–n–1] , [4.32] 1  az 1 [Bên trái] ROC z z 0.8 0.8 plane 0.8 1 ROC 1 unit unit circle circle circl circl e e [a] Hàm nhân quả [b] Hàm phi nhân quả Hình .4.11: ROC của hàm nhân quả và phi nhân quả

65 tài liệu

2363 lượt tải