VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Phương pháp. Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng [a], ta chứng minh d không nằm trong mặt phẳng [a] và d song song với một đường thẳng a chứa trong mặt phẳng [a]. Chú ý. Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong mặt phẳng [a] và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với [a] rồi chứng minh d song song với a. BÀI TẬP DẠNG 1: Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng đường thẳng MG song song với mặt phẳng [ACD]. Gọi N là trung điểm của AD. Ta có: BA = 5 [Vì G là trọng tâm tam giác ABD]. Theo giả thiết, ta có: MB = 2MC = BC = 3. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC. a] Chứng minh đường thẳng OM song song với các mặt phẳng [SAB], [SBC]. b] Chứng minh đường thẳng SP song song với mặt phẳng [OMN]. a] Tam giác SBD có OB = OD và MS = MD nên OM là đường trung bình của tam giác SBD. OM || SB. Mà OM không chứa trong các mặt phẳng [SAB] và [SBC] nên OM vuông [SAB] và OM || [SBC]. b] Trong mặt phẳng [ABCD], gọi I là giao điểm của ON và DP. Tam giác BCD có OB = OD và NC = ND nên ON là đường trung bình của tam giác BCD. I là trung điểm của DP. Tam giác SDP có MS = MD và IP = ID nên IM là đường trung bình của tam giác SDP → IM vuông góc SP. Ví dụ 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Mặt phẳng [a] chứa đường thẳng MN, song song với đường thẳng AB, cắt AD và AF lần lượt tại M’ và N. Chứng minh rằng đường thẳng M’N’ song song với mặt phẳng [DEF]. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, AD lần lượt lấy các điểm M, N, K sao cho A = SA = SB = DA. Chứng minh rằng: a] Đường thẳng MN song song với mặt phẳng [ABCD]. b] Đường thẳng SD song song với mặt phẳng [MNK]. c] Đường thẳng NK Song song với mặt phẳng [SCD].
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi 0 là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; I là trung điểm của cạnh SA; E là điểm thuộc cạnh SD sao cho 3SE = 2SD và G là trọng tâm của tam giác SBC. Chứng minh rằng: a] Đường thẳng ID song song với mặt phẳng [SBC]. b] Đường thẳng OG song song với mặt phẳng [SCD]. c] Đường thẳng SB song song với mặt phẳng [ACE].
Bạn đã biết làm dạng bài chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chưa? Nếu chưa thì bài viết này dành cho bạn. Mời bạn xem nội dung sau đây
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta có 2 cách làm sau
Cách 1: Chứng minh đường thẳng d không nằm trong [α] và song song với đường thẳng a nằm trong [α].
Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt này sẽ song song với mặt kia.
2. Bài tập
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng [ABC] và [ABD]
Lời giải
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD.
Khi đó, ta có: $\frac{{QM}}{{MA}} = \frac{{QN}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN||AB$
Vì $\left\{ \begin{gathered} MN \not\subset \left[ {ABC} \right] \hfill \\ AB \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \\ MN||AB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ nên MN || [ABC]
Tương tự $\left\{ \begin{gathered} MN \not\subset \left[ {ABD} \right] \hfill \\ AB \subset \left[ {ABD} \right] \hfill \\ MN||AB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ nên MN || [ABD]
Xem thêm: Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Khái niệm hai đường thẳng song song- Hai đường thẳng không có điểm chung được gọi là hai đường thẳng song song.
- Kí hiệu: m // n.
2. Dấu hiệu nhận biết
- Khi đường thẳng p cắt đường thẳng m và n, trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc cặp góc so le trong bằng nhau => m // n.
3. Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song- Phương pháp 1: Tìm hai góc trong cùng phía bù nhau.- Phương pháp 2: Tìm hai góc so le trong bằng nhau.- Phương pháp 3: Tìm các góc đồng vị bằng nhau.- Phương pháp 4: Áp dụng tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song: "Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó".- Phương pháp 5: Tìm ra hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
- Phương pháp 6: Tìm ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.
4. Một số ví dụ cụ thể chứng minh hai đường thẳng song song
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA, lấy điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh: AB // CD.Hướng dẫn giải:
Bài tập 2: Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia MC, lấy điểm D sao cho MD = MC. Trên tia đối của tia NB, lấy điểm E sao cho NE = NB. Chứng minh: DE // BC.Hướng dẫn giải:
Bài tập 3: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên các cạnh AB và AC, lấy lần lượt điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng minh: DE // BC.Hướng dẫn giải:
Hi vọng với bài viết chia sẻ các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong hình học trên đây của chúng tôi đã phần nào hỗ trợ các em học sinh trong việc hoàn thành các bài tập dễ dàng hơn. Nếu có những bài tập hay hoặc cách giải toán nào nhanh chóng, đơn giản, sáng tạo, các bạn cùng chia sẻ với chúng tôi nhé! Các bạn cũng có thể đón đọc thêm các bài viết khác của chúng tôi: Phương pháp chứng minh 2 góc bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 tam giác bằng nhau, Phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng dạng,...
Nếu các em vẫn băn khoăn vì chưa biết vận dụng các kiến thức lý thuyết cũng như các Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong hình học như thế nào cho linh hoạt, đúng đắn trong các bài tập, vậy em có thể tham khảo một số gợi ý dưới đây của chúng tôi để hoàn thành các bài tập nhanh chóng, chính xác và dễ dàng nhất.