Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu toán 10

Dẫn dắt: Buổi trước ta đã cùng nhau đi giải các dạng bt về pt chứa dấu GTTĐ, ngoài dạng pt trên thì năm lớp 8 các bạn còn được nghiên cứu các dạng pt nào nữa?

Hôm nay chúng ta cùng đi nghiên cứu về pt chứa ẩn ở mẫu và pt bậc bốn trùng phương.

9. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

B1: Đặt điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa (Tìm ĐKXĐ)

B2: Quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình bậc hai

B3: Giải phương trình bậc hai này và chỉ ra nghiệm thỏa mãn điều kiện.

B4: Kết luận nghiệm hoặc viết tập nghiệm.

VD: B1a)

1. ĐKXĐ:
   v à

Bài 3. Mức 3: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số

1. ĐKXĐ:

Phương trình tương đương với

Đối chiếu với điều kiện ta xét

Kết luận

phương trình (1) có nghiệm là

phương trình (1) vô nghiệm

II. Phương trình bậc bốn đưa được về phương trình bậc 2.

1. Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình bậc bốn tối đa là bao nhiêu nghiệm? (4 nghiệm)

Vậy để xác định số nghiệm của phương trình trùng phương thì ta làm như thế nào?

Để xác định số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta dựa vào số nghiệm của phương trình bậc hai (2) và dấu của chúng.

Cho hs hoàn thành bảng dưới (bt7)

(1) Vô nghiệm

(2) Vô nghiệm

(2) Có hai nghiệm cùng âm

(1) Có 1 nghiệm

(2) Có nghiệm kép bằng 0

(2) Có một nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm

(1) Có 2 nghiệm

(2) Có nghiệm kép dương

(2) Có hai nghiệm trái dấu

(1) Có 3 nghiệm

(2) Có một nghiệm bằng 0, có một nghiệm dương

(1) Có 4 nghiệm

(2) Có hai nghiệm phân biệt cùng dương

Học sinh giải quyết bt4

Bài 4. Mức 2:Giải các phương trình sau :

1. b)
   c)
   d)

Hướng dẫn:

1. , đặt
   . PT trở thành

Áp dụng bảng số nghiệm của phương trình trùng phương để giải quyết bài tập 6

Phương trình này đã là dạng phương trình trùng phương chưa? (chưa hệ số a chưa khác 0, vậy ở đây ta cần xét cả trường hợp a = 0 và a khác 0)

Phương trình trùng phương có nghiệm khi nào? Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm không âm, có hai nghiệm trái dấu, có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi nào? Khi phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt.

Câu c) Hai yêu cầu cần giải quyết t1: Bốn nghiệm phân biệt (đây chính là phần b), t2: Bốn nghiệm này cách đều. Bốn nghiệm của phương trình trùng phương cách đều thì hai nghiệm của phương trình bậc hai có mối liên hệ như thế nào?

Hướng dẫn: PTBH có 2 nghiệm dương phân biệt t1 và t2 (GS t1< t2) thì ptbbtp có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự lần lượt là

GS khoảng cách giữa hai nghiệm này là a. Để các nghiệm này cách đều thì

. Vậy ta tìm ra mối liên hệ giữa t1, t2là

Chốt lại cho học sinh: Khi đề bài hỏi bốn nghiệm phân biệt cách đều ta ngay lập tức có mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình BH là

Bài 6. Mức 3: Cho phương trình

. Tìm để :

1. Phương trình (*) có nghiệm

2. Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt

3. Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt cách đều

Hướng dẫn:

Đặt

, phương trình trở thành

1. Với
   phương trình (*) trở thành
   .

Vậy với

thì phương trình (*) có nghiệm.

Với

, phương trình (**) là phương trình bậc hai.

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm

· TH1 : Phương trình (**) có hai nghiệm không âm

· TH2 : Phương trình (**) có hai nghiệm trái dấu

· TH3 : Phương trình (**) có một nghiệm bằng không và một nghiệm âm (không xảy ra vì

không là nghiệm của phương trình (**) với mọi )

Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

2. Với
   phương trình (*) trở thành
   suy ra
   không thỏa mãn

Với

, phương trình (**) là phương trình bậc hai.

Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình(**) có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

3. Theo câu b, (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
   . Bốn nghiệm này cách đều nhau suy ra PT (**) có hai nghiệm
   thỏa mãn

Kết hợp với định lí Vi-et ta có hệ sau:

Vậy với

thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt cách đều

2. Dạng 2:

Đặt:

hoặc ta sẽ được phương trình bậc hai theo ẩn t

Giải phương trình tìm t từ đó suy ra x

Ví dụ: e)

(B5)

Cho học sinh nhận sẽ về a, b, c, d trong phương trình trên và tìm mối liên hệ về tổng -> 1+7 =3+ 5. Vậy với phương trình này ta sẽ nhóm (x+1)(x+7) vào một nhóm (x+3)(x+5) vào một nhóm.