- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.
LG a
Dãy số [un] với un= 8n + 3
Phương pháp giải:
Xét hiệu \[u_{n+1}-u_n\] hoặc thương \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\].
Nếu hiệu trên là hằng số thì dãy là CSC.
Nếu thương trênlà hằng số thì dãy là CSN.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[{u_{n + 1}} - {u_n}\]
\[= 8\left[ {n + 1} \right] + 3 - \left[ {8n + 3} \right] \]
\[ = 8n + 8 + 3 - 8n - 3\]
\[= 8,\forall n \ge 1\]
Suy ra [un] là cấp số cộng với công sai \[d = 8\]
LG b
Dãy số [un] với \[{u_n} = {n^2} + n + 1\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[{u_{n + 1}} - {u_n} \]
\[= {\left[ {n + 1} \right]^2} + \left[ {n + 1} \right] + 1 - [{n^2} + n + 1] \]
\[ = {n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1 - {n^2} - n - 1 \]
\[= 2n + 2\]
\[= 2\left[ {n + 1} \right]\] không là hằng số
Vậy [un] không là cấp số cộng.
\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}= \frac{{{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + \left[ {n + 1} \right] + 1}}{{{n^2} + n + 1}} \]
\[= \frac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1}}{{{n^2} + n + 1}}\]
\[ = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\] không là hằng số nên [un] không là cấp số nhân.
Cách giải thích khác:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_1} = {1^2} + 1 + 1 = 3\\
{u_2} = {2^2} + 2 + 1 = 7\\
{u_3} = {3^2} + 3 + 1 = 13\\
\Rightarrow {u_2} - {u_1} = 4 \ne 6 = {u_3} - {u_2}
\end{array}\]
Do đó dãy không là CSC.
Lại có: \[\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{7}{3} \ne \frac{{13}}{7} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\]
Do đó dãy không là CSN.
LG c
Dãy số [un] với \[{u_n} = {3.8^n}\]
Lời giải chi tiết:
\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\]
Do đó [un] là cấp số nhân với công bội \[q = 8\].
LG d
Dãy số [un] với \[{u_n} = \left[ {n + 2} \right]{.3^n}\]
Lời giải chi tiết:
\[{u_{n + 1}} - {u_n}\]
\[= \left[ {n + 3} \right]{.3^{n + 1}} - \left[ {n + 2} \right]{3^n} \]
\[= {3^n}\left[ {3n + 9 - n - 2} \right] = \left[ {2n + 7} \right]{3^n}\]không là hằng số nên [un] không là cấp số cộng.
\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left[ {n + 3} \right]{{.3}^{n + 1}}} \over {\left[ {n + 2} \right]{{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\]không là hằng số nên [un] không là cấp số nhân.
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
{u_1} = \left[ {1 + 2} \right]{.3^1} = 9\\
{u_2} = \left[ {2 + 2} \right]{.3^2} = 36\\
{u_3} = \left[ {3 + 2} \right]{.3^3} = 135\\
\Rightarrow {u_2} - {u_1} = 27 \ne 99 = {u_3} - {u_2}
\end{array}\]
Do đó dãy không là CSC.
Lại có: \[\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{36}}{9} = 4 \ne \frac{{135}}{{36}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\]
Do đó dãy không là CSN.