Đề bài
Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2, , An, sao cho với mỗi số nguyên dương n, OAn= n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n = 1, 2, . Kí hiệu u1là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1và với mỗi n 2, kí hiệu unlà diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn 1, nửa đường tròn đường kính OAnvà tia Ox [h 3.3]. Chứng minh rằng dãy số [un] là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Với \[n 2\] ta có :
Diện tích nửa đường tròn đường kính \[OA_n\] là:\[{S_n} = \frac{1}{2}\pi .{\left[ {\frac{{O{A_n}}}{2}} \right]^2} = \frac{1}{8}\pi {n^2}\]
Diện tích nửa đường tròn đường kính \[OA_{n-1}\] là:\[{S_{n-1}} = \frac{1}{2}\pi .{\left[ {\frac{{O{A_{n-1}}}}{2}} \right]^2} = \frac{1}{8}\pi {[n-1]^2}\]
Do đó,
\[\eqalign{
& {u_n} ={S_n} - {S_{n-1}}\cr&= \frac{1}{8}\pi {n^2} - \frac{1}{8}\pi {\left[ {n - 1} \right]^2}\cr
& = {1 \over 8}\pi \left[ {\left[ {{n^2} - {{\left[ {n - 1} \right]}^2}} \right]} \right] \cr
&= \frac{1}{8}\pi \left[ {{n^2} - {n^2} + 2n - 1} \right]\cr&= {{\left[ {2n - 1} \right]\pi } \over 8}\,\left[ {n \ge 2} \right] \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left[ {2n - 1} \right]} \over 8}\pi \cr&= {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \]
Mặt khác
\[{u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\]
Vậy \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\]
Do đó [un] là cấp số cộng với công sai \[d = {\pi \over 4}.\]