- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm cực trị của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = {x \over {{x^2} + 1}};\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = {\mathbb{R}}\]
\[f'\left[ x \right] = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}}}\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,f\left[ 1 \right] = {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1,f\left[ { - 1} \right] = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x=-1\], giá trị cực tiểu \[f\left[ { - 1} \right] = - {1 \over 2}\].
Hàm số đạt cực đại tại điểm \[x=1\], giá trị cực đại \[f\left[ 1 \right] = {1 \over 2}\].
LG b
\[f\left[ x \right] = {{{x^3}} \over {x + 1}};\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[\eqalign{
& f'\left[ x \right] = {{3{x^2}\left[ {x + 1} \right] - {x^3}} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}= \frac{{{x^2}\left[ {2x + 3} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} \cr
& f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left[ {2x + 3} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& f\left[ { - {3 \over 2}} \right] = {{27} \over 4} \cr} \]
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \[x = - {3 \over 2}\], giá trị cực tiểu \[f\left[ { - {3 \over 2}} \right] = {{27} \over 4}\].
Hàm số không có cực đại.
LG c
\[f\left[ x \right] = \sqrt {5 - {x^2}} ;\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\]
\[f'\left[ x \right] = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left[ 0 \right] = \sqrt 5 \]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\], giá trị cực đại \[f\left[ 0 \right] = \sqrt 5 \].
Hàm số không có cực tiểu.
LG d
\[f\left[ x \right] = x + \sqrt {{x^2} - 1} \].
Lời giải chi tiết:
\[f\left[ x \right]\]xác định khi và chỉ khi \[{x^2} - 1 \ge 0\] \[\Leftrightarrow x \le - 1\] hoặc \[x \ge 1\].
TXĐ: \[D = \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1} + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\] vô nghiệm
Hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
Hàm số không có cực trị.
Chú ý:
Để xét dấu nhanh và chính xác trong các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]thì ta chỉ cần cho x nhận 1 giá cụ thể thuộc khoảng đó. Chẳng hạn,
\[f'\left[ { - 2} \right] < 0 \Rightarrow f'\left[ x \right] < 0\] với mọi \[x < - 1\].
\[f'\left[ { - 2} \right] > 0 \Rightarrow f'\left[ x \right] > 2\] với mọi \[x > 1\].