Chứng minh rằng phương trình (1 - m 2 x^5 3 x-1=0 luôn có nghiệm với mọi m)

+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].

+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

– Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.

Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm

– Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0

– Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].

Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].

Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+] Một số chú ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 – 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng [–1;2].

Hướng dẫn giải:

Hàm số f[x] = 4x3 – 8x2 + 1 liên tục trên R. 

Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [–1;2].

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x3 + x – 1

Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]

Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂ R] [1]

Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f[0] . f[1] = – 1. 1 = – 1 < 0 [2]

Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].

Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm [đpcm].

Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 – x – 3

Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.

Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 – [-1] – 3 = 4

f[0] = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3

f[1] = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2

+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]

Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]

Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x5 – 5x3 + 4x – 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].

Ta có:

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] =  [m2 – m + 3]x2n – 2x – 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập áp dụng

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].

Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

                     [m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]

c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0     có năm nghiệm phân biệt

d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*

Bài 8. CMR các phương  sau luôn có nghiệm:

a] m[x – 1][x – 2] + 2x + 1 = 0

b] [m2 – 2m]x3 + 2x – 1 = 0

c] cosx + mcoss2x = 0

d] [1 – m2][x + 1]3 + x2 – x – 3 = 0

Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x5 + 3x4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm

Đăng bởi: Đại Học Đông Đô

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11