Chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ Lớp 10 file word
|
Cuốn tài liệu "Chương 2 chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto" do sachhoc.com sưu tầm tổng hợp, nhằm cung cấp cho các tài liệu hay cung với chủ điểm kiến thức trọng tâm, đề thi, bài tập để học tốt, và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 10. Các em xem chi tiết file bên dưới và tải bản đầy đủ để ôn thi học tốt môn Toán lớp 10.
Trong mỗi bài học thì đều có lý thuyết, phương pháp giải, bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm có full lời giải chi tiết. Tài liệu phù hợp cho các bạn học sinh có xu hướng tự học tại nhà, phù hợp cho giáo viên giảng dạy tại lớp và tại nhà. Tài liệu được mình biên soạn và sưu tầm
{getButton} $text={Tải Xuống} $icon={download} $color={#3498db} Ok
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.1. Định nghĩa:a) Góc giữa hai vectơ.Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA = a và OB = b .Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b .+ Quy ước : Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 0 0đến 1800 ).( )+ Kí hiệu: a; bb) Tích vô hướng của hai vectơ.Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi:a.b = a b .cos(a, b) .2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a , b , c và mọi số thực k ta luôn có:1) a.b = b.a2) a( b c) = a.b a.c3) ( ka)b = k( a.b) = a( kb)224) a 0, a = 0 a = 0Chú ý: Ta có kết quả sau:+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a ⊥ b a.b = 022+ a.a = a = a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a .222+ ( a b)2 = a 2a.b + b , ( a + b)( a − b) = a − b23. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.a) Công thức hình chiếu.http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiCho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CDkhi đó ta có AB.CD = A ' B '.CDb) phương tích của một điểm với đường tròn.Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại haiđiểm A và B. Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn( O; R ) . Kí hiệu là PM / (O ).Chú ý: Ta có PM / (O ) = MA.MB = MO 2 − R2 = MT 2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từđiểm M3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướngCho hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) và b = ( x2 ; y2 ) . Khi đó1) a.b = x1 x2 + y1 y22) a = ( x; y) |a|= x2 + y 23) cos( a , b) =a.ba b=x1 x2 + y1 y2x12 + y12 x22 + y22Hệ quả:+ a ⊥ b x1x2 + y1 y2 = 0+ Nếu A( xA ; y A ) và B( xB ; y B ) thì AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.1. Phương pháp giải.( )• Dựa vào định nghĩa a.b = a . b cos a; b• Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ2. Các ví dụ:http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiVí dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a và G là trọng tâm.a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CAA. BA.BC = 2a2 , BC.CA = −3a2B. BA.BC = a2 , BC.CA = 3a2C. BA.BC = a2 , BC.CA = −a2D. BA.BC = a2 , BC.CA = −3a2b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC + BC.CA + CA.ABA. AB.BC + BC.CA + CA.AB = 4a2B. AB.BC + BC.CA + CA.AB = −a2C. AB.BC + BC.CA + CA.AB = −4a2D. AB.BC + BC.CA + CA.AB = −2a2c) Tính giá trị của biểu thức GA.GB + GB.GC + GC.GAA. GA.GB + GB.GC + GC.GA = −a23B. GA.GB + GB.GC + GC.GA = −5a 2D. GA.GB + GB.GC + GC.GA = −34a2C. GA.GB + GB.GC + GC.GA = −3Bài làm:C(hình 2.2)a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có()()()a 1=2a 2Nên BA.BC = a2* Ta có BC.CA = −CB.CA = − CB . CA cos ACBTheo định lý Pitago ta có CA =Suy ra BC.CA = −a 3.2a.( 2a )a 3= −3a22a2− a2 = a 3MNBA.BC = BA . BC cos BA, BC = 2a2cos BA, BC .Mặt khác cos BA, BC = cos ABC =2a23GAPHình 2.2Bhttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảib) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA.AB = 0 và từ câu a tacó AB.BC = −a2 , BC.CA = −3a2 . Suy ra AB.BC + BC.CA + CA.AB = −4a2Cách 2: Từ AB + BC + CA = 0 và hằng đẳng thức( AB + BC + CA)2()= AB2 + BC 2 + CA2 + 2 AB.BC + BC.CA + CA.AB Ta cóAB.BC + BC.CA + CA.AB = −()1AB2 + BC 2 + CA2 = −4a22c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA + GB + GC = 0 nênGA.GB + GB.GC + GC.GA = −(1GA2 + GB2 + GC 22)Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB224a2Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA = AM =932Theo định lý Pitago ta có:GB2 =4443a 2 7 a 2BN 2 = AB2 + AN 2 = a2 +=9994 9()444a2 13a2GC 2 = CP 2 = AC 2 + AP 2 = 3a2 + =99949()1 4a2 7 a2 13a2 4a 2Suy ra GA.GB + GB.GC + GC.GA = − ++=−2 999 3Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tamgiác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:a) ( AB + AD)( BD + BC)A. ( AB + AD)( BD + BC) = 3a2B. ( AB + AD)( BD + BC) = 2a2C. ( AB + AD)( BD + BC) = a2D. ( AB + AD)( BD + BC) = 4a2http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải(b) CG. CA + DMA.)21a24B.11a 24C.9a24D.a24Bài làm:(hình 2.3)a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = ACDo đó ( AB + AD)( BD + BC) = AC.BD + AC.BCMA= CA.CB = CA . CB cos ACBBG( AC.BD = 0 vì AC ⊥ BD )DMặt khác ACB = 45 và theo định lý Pitago ta có :0CHình 2.3AC = a2 + a2 = a 2Suy ra ( AB + AD)( BD + BC) = a.a 2 cos 450 = a2b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG = CD + CA + CM()Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA = − AB + AD vàCM =()()(111CB + CA = CB − AB + AD = − AB + 2 AD222()) 21 ( AB + 2 AD) = − 25 AB + 2 AD Suy ra CG = − AB − AB + AD −()1Ta lại có CA + DM = − AB + AD + AM − AD = − AB + 2 AD 2()5 1Nên CG. CA + DM = AB + 2 AD AB + 2 AD 2 2http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải=521a2AB2 + 4 AD 2 =44Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . M là trung điểm của BC, D làchân đường phân giác trong góc A.a) Tính AB.ACA.()1 2 2 2c +b −a2b) Tính ADB.(1 2 2 2c +b −a4)C.(1 2 2 2c +b −a3)D.(1 2 2c + b − 2a 22)22C. AD =2p ( p − a)B. AD =2p ( p − a)D. AD =4c2A. AD =(b + c)4bc(b − c)224bc(b + c)24bc(b + c)2( p − a)p ( p − a)Bài làm:(hình 2.3)Aa) Ta có AB. AC ==()221 2AB+AC−AB−AC2(11 AB2 + AC 2 − CB2 = c 2 + b2 − a222)BHình 2.3Mặt khác AB.AC = AB.AC cos A = cb cos ASuy rac 2 + b2 − a21 2 2 2c + b − a = cb cos A hay cos A =2bc2()b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM =2Suy ra AM =(1AB + AC4)2DM(1AB + AC2)221= AB + 2 ABAC + AC 4Chttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiTheo câu a) ta có AB.AC =()1 2 2 2c + b − a nên2()2 b2 + c 2 − a21 21 2 2 22AM = c + 2. c + b − a + b =424(2)* Theo tính chất đường phân giác thìSuy ra BD =BD AB c==DC AC bBDbDC = DC (*)DCcMặt khác BD = AD − AB và DC = AC − AD thay vào (*) ta đượcAD − AB =()= ( bAB ) + 2bcABAC + ( cAC )bAC − AD ( b + c ) AD = bAB + cACc ( b + c ) AD222 ( b + c ) AD = b 2 c 2 + 2bc.222 AD =bc(b + c)2Hay AD =2(2)1 2 2 2c + b − a + c 2b22( b + c − a )( b + c + a )4bc(b + c)2p ( p − a)Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là la =2 bcp ( p − a)b+c3. Bài tập luyện tập:Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:a) AB.ACA.5a 22b) AC.CBB.a22C.3a 22D. −a22http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiA. −a22B. −5a 22C. −7 a22B. −a22C.a23D. −3a 22D. −5a 22c) AB.BCA. −a22Bài làm:()a2Bài 2.13. a) AB.AC = AB.AC.cos AB; AC = a cos 60 =2b) AC.CB = −CA.CB = −CA.CB.cos 600 = −c) AB.BC = −20a22a22Bài 2.14 .Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8 .a) Tính AB.ACA. AB.AC = 40B. AB.AC = 10C. AB.AC = 30D. AB.AC = 20B. AC.BC = 41C. AC.BC = 42D. AC.BC = 44b) Tính AC.BC .A. AC.BC = 45c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3 . Tính CD.CB .A. CD.CB =312B. CD.CB =352C. CD.CB =332Bài làm:22(Bài 2.14. a) 2 AB.AC = AB + AC − AB − ACSuy ra AB.AC = 20)2= AB2 + AC 2 − BC 2D. CD.CB =372http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiTa có AB.AC = 20 AB.AC.cos A = 20 cos A =()1 A = 60022b) AC.BC = AC. AC − AB = AC − AB.AC = 8 2 − 20 = 44c) Ta có AC.BC = AC.BC.cos C = 44 cos C =Do đó CD.CB = CD.CB.cos C = 3.7.111411 33=14 2Bài 2.15. Cho các véctơ a , b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2a − 3b = 7 . Tính( )cos a , b .( )A. cos a, b =24( )B. cos a, b =( )14C. cos a, b =( )12D. cos a, b =13Bài làm:2( )2Bài 2.15. 2a − 3b = 7 4a − 12a.b + 9b = 7 cos a, b =14Bài 2.16. Cho các véctơ a , b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600 . Xácđịnh cosin góc giữa hai vectơ u và v với u = a + 2b , v = a − b( )A. cos u; v = −12( )B. cos u; v = −16( )C. cos u; v = −14( )D. cos u; v = −Bài làm:()( )Bài 2.16. u.v = a + 2b a − b = 1 − 2 +22211=−22222Mặt khác u = a + 4b + 8a.b = 9 u = 3 , v = a + b − 2a.b = 1 v = 1( )Suy ra cos u; v = −16Bài 2.17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho13http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiBM = 1 , trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DN = 1 và P là trung điểm BC. Tínhcos MNP .A. cos MNP =C. cos MNP =13B. cos MNP =5 1013D. cos MNP =10134 101345 10Bài làm:Bài 2.17. Ta có NM =Suy ra NM. NP =121AB − AD, NP = AB − AD3322 1 13+ =9 2 18Mặt khác NM = 10 , NP =513 cos MNP =245 10Bài 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 . M là điểm được xác định bởiAM = 3 MB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính MB.GCA. MB.GC =58B. MB.GC =38C. MB.GC =Bài làm:Bài 2.18. Ta có MB =1AB4Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên 3CG = CA + CD + CM()9 3CG = − AB + AD − AB + CB + BM = − AB − 2 AD4 GC =32AB + AD43Suy ra MB.GC =132 3AB. AB + AD =434 837D. MB.GC =18http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiBài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính gócgiữa hai đường thẳng AB và CD biết AB = CD = 2a , MN = a 3 .A. ( AB, CD) = 500B. ( AB, CD) = 600C. ( AB, CD) = 800D. ( AB, CD) = 300Bài làm:1Bài 2.19. Ta có: MN = ( AB + CD) suy ra21MN 2 = ( AB2 + CD2 + 2 AB.CD) AB.CD = 2a2 .4Do đó cos( AB, CD) =AB.CD2a 21== ( AB, CD) = 600 .AB.CD 2a.2a 2Bài 2.20: Cho tứ giác ABCD có AB = BC = 2 5, CD = BD = 5 2 , BD = 3 10 , AC = 10 .Tìm góc giữa hai vectơ AC , DB .Bài làm:Bài 2.20. Với điểm O bất kỳ ta có :()()+ OB − (OC − OB ) = OC2 AC.DB = 2 OC − OA OB − OD = 2OC.OB + 2OA.OD − 2OC.OD − 2OA.OB Mặt khác2OC.OB = OC22222+ OB − BC2Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được2 AC.DB = AB2 + CD2 − BC 2 − AD2()Suy ra cos AC , DB =AB2 + CD 2 − BC 2 − AD 2AC.BDBài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C quađường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB.a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D. Tínhdiện tích tam giác đó.http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiA. SMDN =320B. SMDN =7 32C. SMDN =720D. SMDN =7 320b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M. Tínhdiện tích tam giác đó.A. SPMD =340B. SPMD =34C. SPMD =740D. SPMD =7 340c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PDA. cos ( MP; PD ) =214B. cos ( MP; PD ) =24C. cos ( MP; PD ) =2116D. cos ( MP; PD ) =2114Bài làm:Bài 2.21. HD: Đặt CA = a , CB = b . Khi đó CD = a + b, CM =2b 21, a = b = 1, a.b =22a) Giải sử CN = nCA = na . Khi đó ta có:MD = CD − CM = a +bvà ND = CD − CN = (1 − n) a + b . Suy ra2b9 − 5n9MD.ND = a + ( 1 − n ) a + b = CN = a2 45Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có MD.ND = 0 n =95222b 7 4217 3Ta có MD = a + = , ND = − a + b = SMDN =2 420 5 252b) Tương tự câu a) ta có CP =27 3a, SPMD =540c) Theo câu a) và b) ta có MD =2a b3a+ , DD = CD − CP = + b5 25http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải2Do đó MP =2214921., PD =, MP. PD = −10025100Suy ra cos ( MP; PD ) =MP.PDMP . PD=2114 DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạnthẳng.1. Phương pháp giải.• Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về2vectơ nhờ đẳng thức AB2 = AB• Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ• Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.2. Các ví dụ:Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.Chứng minh rằng : MA.MB = IM 2 − IA2Bài làm:2Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB = IM − IA2Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được()() ()(VT = MI + IA . MI + IB = MI + IA . MI − IA2)2= IM − IA = VP (đpcm)Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 (*).Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".Bài làm:Ta có: DA.BC + DB.CA + DC.ABhttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải()()(= DA. DC − DB + DB. DA − DC + DC. DB − DA)= DA.DC − DA.DB + DB.DA − DB.DC + DC.DB − DC.DA = 0(đpcm)Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.Khi đó ta có HA.BC = 0, HC.AB = 0 (1)Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta đượcHA.BC + HB.CA + HC.AB = 0 (2)Từ (1) (2) ta có HB.CA = 0 suy ra BH vuông góc với ACHay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đườngtròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng : AE.AC + BE.BD = AB2Bài làm:CD(hình 2.4)()(Ta có VT = AE. AB + BC + BE. BA + AD)EAHình 2.4= AE.AB + AE.BC + BE.BA + BE.ADBVì AB là đường kính nên ADB = 900 , ACB = 900Suy ra AE.BC = 0, BE.AD = 0()2Do đó VT = AE.AB + BE.BA = AB AE + EB = AB = VP (đpcm).Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp.Chứng minh rằng aIA2 + bIB2 + cIC2 = abcBài làm:http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải(Ta có: aIA + bIB + cIC = 0 aIA + bIB + cIC)2=0 a2 IA2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + 2caIC.IA = 0(− BC ) + ca ( IA) a 2 IA 2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 + ab IA 2 + IB2 − AB2 +(+ bc IB + IC(2)2(+ (c22)+ IC − CA 2 = 02)+ ca + cb ) IC − ( abc a 2 + ab + ca IA 2 + b 2 + ba + bc IB 2 +22(2)+ ab 2 c + a 2 bc = 0) ( a + b + c ) a2 IA2 + b2 IB2 + c 2 IC 2 = ( a + b + c ) abc a2 IA2 + b2 IB2 + c2 IC 2 = abc (đpcm)3. Bài tập luyện tập:Bài 2.22. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.Chứng minh rằng: BC.AD + CA.BE + AB.CF = 0 .Bài làm:Bài 2.22. Sử dụng các đẳng thức về trung điểmAD =()()(111AB + AC , BE = BC + BA , CF = CA + CB222)Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minhrằng:a) MA.MC = MB.MDb) MA2 + MB.MD = 2 MA.MOBài làm:()()2Bài 2.23. a) VT = OA − OM OC − OM = OM − OA2http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải()()2VP = OB − OM OD − OM = OM − OC2Suy ra MA.MC = MB.MD()b) VT = MA2 + MA.MC = MA MA + MC = MA.2MO = VPBài 2.24: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằngMH.MA =1BC 2 .4Bài làm:Bài 2.24: VT = HM.AM ==()() (11HB + HC . AB + AC22())()21111AB.HB + AC.HC = AB HC + CB + AC HB + BC = BC = VP4444Bài 2.25: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC = a, CA = b, AB = c .Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC 2 =(1 2 2 2a +b +c3)Bài làm:(Bài 2.25: GA + GB + GC = 0 GA + GB + GC)2=0 GA2 + GB2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = 0 (*)22(Mặt khác 2GAGB = GA + GB − GA − GB)2= GA2 + GB2 − BA2Tương tự 2GBGC = GB2 + GC 2 − BC 2 , 2GCGA = GC 2 + GA2 − AC 2Thay vào (*) suy ra đpcmBài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC.DB = 0 .Chứng minh rằngAB2 + CD2 = BC 2 + DA2Bài làm:http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiBài 2.26: Ta chứng minh hệ thức AB2 + CD2 = BC 2 + DA2 + 2 AC.DBBài 2.27: Cho tam giác ABC có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng A ' M.BC + B ' N.CA + C ' P.AB = 0Bài làm:Bài 2.27: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và H là trực tâm của tam giácABC . M. N, P lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh BC, CA, AB.Theo công thức hình chiếu ta có A ' M.BC = HO.BC , B ' N.CA = HO.CA ,C ' P.AB = HO.AB()Suy ra VT = HO AB + BC + CA = HO.0 = VPBài 2.28.Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý.Chứng minh rằng: MA.MC − MB.MD = BA.BCBài làm:Bài 2.28. Gọi O là tâm hình bình hành khi đó222222VT = MO − OA − MO − OC = OC − OA ()()2VP = OA − OB OC − OB = OB − OA2Từ đó suy ra đpcmBài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2 R . Gọi I là giaođiểm của hai đường thẳng AM và BN.a) Chứng minh: AM.AI = AB.AI , BN.BI = BA.BI .b) Tính AM.AI + BN.BI theo R.Bài làm:http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải()Bài 2.29: a) Ta có: AM.AI = AB + BM .AI = AB.AI + BM.AI= AB.AI (Vì BM ⊥ AI )()BN.BI = BN + NA .BI = BN.BI + NA.BI = BN.BIb) Theo câu a) ta có()2AM.AI + BN .BI = AB.AI + BA.BI = AB AI − BI = AB = 4 R 2Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B vàC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.()Chứng minh rằng: AM 2 = b2 BM 2 + c 2CM 2 + b2 + c 2 − a2 BM.CMBài làm:Bài 2.30. Ta có CM =AMBMCB +CAABAB AB2 .CM 2 = AM 2 .CB2 + BM 2 .CA2 + 2 AM.BM.CBCA( AB2 .CM 2 = AM 2 .CB2 + BM 2 .CA2 + AM.BM. a2 + b2 − c 2())Vậy AM 2 = b2 BM 2 + c 2CM 2 + b2 + c 2 − a2 BM.CMBài 2.31. Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDFcó cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD2 .Bài làm:(Bài 2.31. Ta có AB ⊥ EF AB.EF = 0 suy ra AB2 + EF 2 = AB + EF)2Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB + CE + EF = 0 (2)Từ (1) và (2) suy ra AB2 + EF 2 = CD2(1)http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiBài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bấtkỳ nằm trên đường tròn (O). Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC 2 = 2a2Bài làm:(Bài 2.32. Ta có MA = MO + OA2MB2 =)22a2=+ 2 MO.OA , tương tự32a22a2+ 2 MO.OB, MC 2 =+ 2 MO.OC33Suy ra MA2 + MB2 + MC 2 = 2a2Bài 2.33. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O, R). MN là một đường kính bấtkỳ của đường tròn (O;R)a) Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC 2 + MD2 = 8R2b) Chứng minh rằngMA4 + MB4 + MC4 + MD4 = NA4 + NB4 + NC4 + ND4 .Bài làm:()2Bài 2.33. a) MA2 + MB2 + MC 2 + MD2 = MO + OA +() (2) (2+ MO + OB + MO + OC + MO + OD()2)= 8R2 + 2 MO OA + OB + OC + OD = 8R2b) Cách 1: Theo câu a) ta cóMA2 + MB2 + MC 2 + MD2 = NA2 + NB2 + NC 2 + ND2 = 8R2() () () () MA2 − NA2 + MB2 − NB2 + MC 2 − NC 2 + MD 2 − ND 2 = 0 (1)Mặt khác MA2 + NA2 = MB2 + NB2 = MC2 + NC2 = MD2 + ND2 = 4R2 (2)Nhân hai vế (1) với 4R2 và kết hợp (2) ta cóhttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiMA4 + MB4 + MC4 + MD4 = NA4 + NB4 + NC4 + ND4(Cách 2: MA4 = MO + OA) = ( MO + OA + 2MO.OA)4222= 8R4 + 32R2 MO.OAThiết lập các đẳng thức tương tự và cộng lại ta có()MA4 + MB4 + MC 4 + MD4 = 32R4 + 32R2 OA + OB + OC + OD = 32R4 Từ đó suy ra đpcmBài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng AB.AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = 0khi và chỉ khitứ giác ABCD là hình bình hành.Bài làm:Bài 2.34 : AB.AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = 0()() AB AD − BC + CD AD − BC = 0()(())()() AD − BC AB + CD = 0 AB + BD − BC AB + CD = 0 AB + CD2= 0 AB + CD AB = DC ABCD là hình bình hànhBài 2.35: Cho lục giác đều A1 A2 A3 A4 A5 A6 tâm I và đường tròn (O;R) bất kỳ chứa I. CáctiaIAi , i = 1,6cắt(O)tạiBi( i = 1, 6 ).ChứngminhrằngIB12 + IB22 + IB32 + IB42 + IB52 + IB62 = 6R2Bài làm:Bài 2.35: (hình 2.21) Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B1B4, B2B5, B3B6. Ta có cácA2điểm O, I, H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI.A3B1 B 2 B3HI B4B6KO JA4A6B5A5A10KJH = KIH = 60 HJK đềuDo đó: 0KHJ=KIJ=60Hình 2.21http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiTheo bài 11 ta có IH 2 + IJ 2 + IK 2 = OH 2 + OJ 2 + OK 2(Mặt khác: IB12 + IB42 = HB1 − HI() + ( HB − HI )224)= HB12 + HB42 − 2 HI HB1 + HB4 + 2 HI 2() ()= OB12 + OH 2 + OB42 − OH 2 + 2 HI 2= 2 R2 − 2OH 2 + 2 IH 2Chứng minh tương tự:IB22 + IB52 = 2R2 − 2OJ 2 + 2IJ 2 , IB32 + IB62 = 2R2 − 2OK 2 + 2IK 2 VP = 6R2 − 2 (OH 2 + OJ 2 + OK 2 ) + 2 ( IH 2 + IJ 2 + IK 2 ) = VTBài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằnga) MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 với M là điểm bất kỳb) a2 + b2 + c2 9R2Bài làm:(2Bài 2.36. a) MA = MG + GA)2= MG2 + GA2 + 2 MG.GA22Tương tự ta có MB = MG2 + GB2 + 2 MG.GB; MB = MG2 + GB2 + 2 MG.GBSuy ra MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2b) Cho M O với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácSuy ra 3R2 = 3OG2 + GA2 + GB2 + GC 2 = 3OG2 +(1 2 2 2a +b +c3)Do đó a2 + b2 + c2 9R2Bài 2.37: Cho tam giác ABC có BAC 90 0 , BC = a, CA = b, AB = c . M là điểm nằm tronghttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảitam giác ABC và nằm trên đường trên đường tròn đường kính BC. Gọi x, y, z theothứ tự là diện tích của các tam giác MBC , MCA, MAB . Chứng minh rằng(x − y + z) c + (x − z + y) b222yz 2= x+ y + z+ax Bài làm:Bài 2.37: Ta có x.MA + y.MB + z.MC = 0 (*)Gọi E là điểm xác định bởi: y.EB + z.EC = 0Khi đó EB =2z 2 .a2( y + z), EC =22y 2 .a 2( y + z)2Từ (*) suy ra x.MA + ( y + z ) .ME = 0 ( x + y + z ) .AM = ( y + z ) .AE ( x + y + z ) AM 2 = ( y + z ) AE2 (**)222222 c = AB = AE + EB + 2 AE.EBMà 2222b = AC = AE + EC + 2 AE.EC yc 2 + zb2 = ( y + z ) AE2 + y.EB2 + z.EC 2 (vì y.EB + z.EC = 0 ) yc 2 + zb2 = ( y + z ) AE2 +yz 2ay+zKết hợp với (**) ta được ( x + y + z ) AM 2 = ( y + z ) .y.c 2 + ( y + z ) .z.b2 − yz.a 22Chứng minh tương tự ta cũng có( x + y + z)2BM 2 = ( z + x ) .z.a2 + ( z + x ) .x.c 2 − zx.b2( x + y + z)2CM 2 = ( x + y ) .x.b2 + ( x + y ) .y.c 2 − xy.c 2Mặt khác M nằm trên đường tròn đường kinh BC nên MB.MC = 0http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải( y.MB + z.MC)2= y 2 .MB2 + z 2 .MC 2 x2 .MA2 = y2 .MB2 + z2 .MC 2 x 2 ( y + z ) yc 2 + x 2 ( y + z ) zb2 − x 2 yz.a 2= y 2 ( z + x ) za 2 + y 2 ( z + x ) xc 2 − y 2 zxb2 ++ z 2 ( x + y ) xb2 + z 2 ( x + y ) ya2 − z 2 xyc 2() xyz ( x − y + z ) c 2 + ( x − z + y ) b2 = yz x 2 + xy + xz + 2yz a 22yz 2 ( x − y + z ) c 2 + ( x − z + y ) b2 = x + y + z + a đpcmx DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độdài.1. Phương pháp giải.Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động• Nếu AM = k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đườngtròn tâm A, bán kính R = k .• Nếu MA.MB = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB• Nếu MA.a = 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng điqua A và vuông góc với giá của vectơ a2. Các ví dụ.Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k chotrước. Tìm tập hợp điểm M sao choa) MA.MB =3a 24b) MA.MB = MA2Bài làm:a) Gọi I là trung điểm của AB ta cóhttp://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiMA.MB =()()3a 23a 2 MI + IA MI + IB =44 MI 2 − IA2 =3a 2(Do IB = −IA )4a 2 3a 2 MI = +44 MI = a2Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = ab) Ta có MA.MB = MA2 MA.MB = MA(2) MA. MA − MB = 0 MA.BA = 0 MA ⊥ BAVậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.()Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + 2 MB + 3CB BC = 0Bài làm:A(hình 2.4)MIGọi I là điểm xác định bởi IA + 2 IB = 0()Khi đó MA + 2 MB + 3CB BC = 0() (BM' I'CHình 2.4) MI + IA + 2 MI + IB .BC = 3BC 22 MI .BC = BCGọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BCTheo công thức hình chiếu ta có MI .BC = M ' I '.BC do đó M ' I '.BC = BC 2Vì BC 2 0 nên M ' I ', BC cùng hướng suy raM ' I '.BC = BC 2 M ' I '.BC = BC 2 M ' I ' = BCDo I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định.http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giảiVậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC.Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước.Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC + MB.MD = kBài làm:AB(hình 2.5)Gọi I là tâm của hình vuông ABCD()(Ta có : MA.MC = MI + IA MI + IC()ID)CHình 2.5= MI 2 + MI IC + IA + IA.IC= MI 2 + IA.ICTương tự MB.MD = MI 2 + IB.IDNên MA.MC + MB.MD = k 2 MI 2 + IB.ID + IA.IC = k 2 MI 2 − IB2 − IA 2 = k MI 2 = MI 2 =k+ a22 MI =k+ IA 2 =2k+ IA 22k + a22Nếu k −a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗngNếu k = −a2 thì MI = 0 M I suy ra tập hợp điểm M là điểm INếu k −a thì MI =2k + a22suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R =3. Bài tập luyện tập.k + a22 |
