Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = [m2– 1] x3+ [m – 1] x2– x + 4 nghịch biến trên khoảng [-∞;+∞]
Dạng toán tìm số giá trị nguyên của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.
Tóm tắt kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].
b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Các ví dụ mẫu và cách giải
Gặp dạng toán này chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó các bước giải bài tập cần phải trình bày thật chính xác.
Ví dụ 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = [m2 – 1] x3 + [m – 1] x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1.
Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1.
Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ ±1.
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3[m2 – 1] x2 + 2[m – 1] x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + [4m + 9] x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞]
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TXĐ: D = ℝ
y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên [-∞; +∞] khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞]
⇔ m ∊ [-9; -3]
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví dụ 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓[m2 – m] x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y’ = [m2 – m] x2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
+] Với m = 0
Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]
+] Với m = 1
Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
+ Với
Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + [3m + 5] x đồng biến trên ℝ.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5
Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. [-2; 2]
B. [-∞; 2]
C. [-∞; -2]
D. [2; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞].
⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.
BÀI HỌC LIÊN QUAN– Tính đơn điệu của hàm số
– Hàm số đồng biến nghịch biến
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
– Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài
Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc độ nào đó, chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong cuộc sống và cần phải hiểu rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm giác rất may mắn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy có thể tiếp cận nhiều học sinh hơn.
Giải chi tiết:
TH1: \[{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\].
Với \[m = 1\] ta có: \[y = - x + 4\] nghịch biến trên \[\mathbb{R} \Rightarrow m = 1\] thỏa mãn.
Với \[m = - 1\] ta có \[y = - 2{x^2} - x + 4\] là 1 parabol đồng biến trên\[\left[ { - \infty ; - \dfrac{1}{4}} \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - \dfrac{1}{4}; + \infty } \right]\].
\[ \Rightarrow m = - 1\] không thỏa mãn.
TH2: \[{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\].
Ta có: \[y' = 3\left[ {{m^2} - 1} \right]{x^2} + 2\left[ {m - 1} \right]x - 1\]
Hàm só nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}y' \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\\Delta ' = {\left[ {m - 1} \right]^2} + 3\left[ {{m^2} - 1} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\4{m^2} - 2m - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - \dfrac{1}{2} \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le m < 1.\end{array}\]
Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0.\]
Vậy có 2 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Có bao nhiêu số nguyên dươngmđể hàm số
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:
Phân tích: Ta có
Vậy đáp án đúng là A.
Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?
Bài tập trắc nghiệm 60 phút Tính đơn điệu của hàm số - Hàm số và Ứng dụng - Toán Học 12 - Đề số 12
Làm bài
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác cùng bài thi.
-
Cho hàm số
có đạo hàm là. Khoảng nghịch biến của hàm số là -
Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
là đúng? -
Cho hàm
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? -
Hàm số
đồng biếntrênkhoảngnào? -
Tìmgiátrịlớnnhấtcủathamsốm đểhàmsố
đồngbiếntrên. -
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng
? -
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
? -
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số
? -
Có bao nhiêu số nguyên dươngmđể hàm số
nghịch biến trên khoảng -
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? -
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào? -
Hàmsốnàosauđâyđồngbiếntrên
. -
Biết hàm số
nghịch biến trên khoảng. Giá trị của tổngbằng: -
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định?
-
Tìm tất cảcác giá trịthực của tham số
đểhàm sốđồng biến trên. -
Có bao nhiêu số nguyên
để hàm sốnghịch biến trên -
Hàmsốnàosauđâylàhàmsốnghịchbiếntrên
? -
Đâulàhàmsốđồngbiếntrênđoạn
? -
Tất cả giá trị thực của tham số
sao cho hàm sốgiảm trên khoảnglà -
Cho hàm số hàm số fx=mx−4x−m [ m là tham số thực]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;+∞ ?
-
Cho hàmsố
. Mệnhđềnàodướiđâylàđúng? -
Hàmsố
nghịchbiếntrênkhoảngnào? -
Cho hàm số
có đạo hàm trênvà có đồ thịnhư hình vẽ. Xét hàm số. Mệnh đề nào sau đây sai? -
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm sốđồng biến trên? -
Hàm số y=13x3−x2−3x+5 nghịch biến trên khoảng nào?
-
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây? -
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau Hàmsốnghịchbiếntrênkhoảngnàodướiđây. -
Cho hàm số
. Hàm sốcó đồ thị như hình bên. Hàm sốđồng biến trên khoảng -
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số
để hàm sốđồng biến trên khoảng. -
Hàmsố
đồngbiếntrênkhoảngnàosauđây? -
Cho hàm số
. Mệnh đề nào đúng trong những mệnh đề sau? -
Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số
nghịch biến trên? -
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
sao cho hàm sốluôn đồng biến trên R? -
Tìm
để hàm sốđồng biến trên khoảng? -
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng? -
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây? -
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập R?
-
Cho hàm số
liên tục trênvà có đồ thị hàm sốnhư hình bên:Hỏi hàm sốnghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
-
Có 2 lô sản phẩm. Mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ nhất có 3 sản phẩm loại I, lô thứ 2 có 6 sản phẩm loại I. Lấy từ lô thứ nhất ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai ra 4 sản phẩm. Đem 6 sản phẩm lấy ra đi bán với giá sản phẩm loại I là 18000 đồng, sản phẩm không phải loại I là 5000 đồng một sản phẩm. Tìm số tiền thu được trung bình khi bán 6 sản phẩm trên,[đơn vị: đồng].
-
Có 3 lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ i có i sản phẩm hỏng . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra. Tìm EX. [i=1,3-]
-
Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành ba loại: xấu, bình thường và tốt với xác suất tương ứng: 0,25; 0,45 và 0,3. Với tình trạng thời tiết trên thì khả năng sản xuất nông nghiệp được mùa tương ứng là 0,2; 0,6 và 0,7. Nếu được mùa thì mức xuất khẩu tương ứng với ba tình trạng thời tiết là 2,5 triệu tấn; 3,3 và 3,8 triệu tấn. Hãy tính mức xuất khẩu lương thực được kỳ vọng.
-
Một người có 5 chìa khóa giống hệt nhau trong đó chỉ có đúng 1 chìa mở được cửa nhưng anh ta không nhớ chìa nào mở cửa phòng mình. Anh ta phải thử lần lượt từng chìa khóa cho đến khi mở được vào phòng. Gọi X là số chìa [lần] anh ta thử. Tính EX.
-
Một hộp có 5 bi đỏ, 4 bi xanh và 6 bi trắng. chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi xanh có trong 4 bi được chọn. Kỳ vọng của X là:
-
Một lô hàng gồm 3 loại sản phẩm với trọng lượng tương ứng là 1kg; 1,5kg và 2kg. Tỷ lệ từng loại lần lượt là 50%; 30% và 20%. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại từ lô hàng đó ra 4 sản phẩm. Tìm giá trị trung bình của tổng trọng lượng của 4 sản phẩm lấy ra.
-
Theo thống kê, xác suất để một người ở độ tuổi 60 sẽ sống thêm một năm nữa là 0,98. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với giá 300 ngàn đồng và nếu người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 10 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu? [đơn vị: ngàn đồng].
-
Lô hàng có 4 chính phẩm và 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm có trong 2 sản phẩm đã chọn. Kỳ vọng của X là:
-
Một hộp có 10 bi trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp, gọi X, Y lần lượt là số bi đỏ và số bi xanh lấy được. Tính E[X-Y].
-
Có 2 hộp, mỗi hộp chứa 10 sản phẩm trong đó hộp 1 có 3 phế phẩm và hộp 2 có 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm, gọi X, Y lần lượt là số phế phẩm lấy được từ hộp 1 và hộp 2. Tính E[X-Y].