Với Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất Toán lớp 10 Hình học chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10
I. Lý thuyết tổng hợp.
- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ n→ [n→≠0] là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ nếu giá của vectơ n→ vuông góc với đường thẳng Δ.
- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Cho đường thẳng d đi qua điểm M0[x0;y0] và có vectơ pháp tuyến là n→=[a;b], ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:
a[x−x0]+b[y−y0]=0
⇔ax+by+c=0 [với c=−ax0−by0].
II. Các công thức.
- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:
+ Tìm vectơ pháp tuyến của d là: n→=[a;b]
+ Tìm một điểm thuộc vào d là: M0[x0;y0]
+ Viết phương trình tổng quát của d như sau:
a[x−x0]+b[y−y0]=0
⇔ax+by+c=0 [c=−ax0−by0]
III. Ví dụ minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm A[1; 3] và có vectơ pháp tuyến là n→=[1;3]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Lời giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A[1; 3] và có vectơ pháp tuyến là n→=[1;3], ta có phương trình tổng quát của d là:
1[x−1]+3[y−3]=0
⇔x−1+3y−9=0
⇔x+3y−10=0
Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B[3; 5] và có vectơ chỉ phương u→=[−2;3]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→=[−2;3]
⇒Vectơ pháp tuyến của d là n→=[3;2]
Đường thẳng d đi qua điểm B[3; 5] , ta có phương trình tổng quát:
3[x−3]+2[y−5]=0
⇔3x−9+2y−10=0
⇔3x+2y−19=0
Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm C[1; 0] và song song với đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là n'→=[2;−5]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Lời giải:
Vì d // d’ nên vectơ pháp tuyến của d là n→ có: n→=n'→=[2;−5]
Đường thẳng d đi qua C[1; 0] , ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
2[x−1]−5[y−0]=0
⇔2x−5y−2=0
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm M[4; 2] và có vectơ pháp tuyến n→=[2;−1]. Viết phương trình tổng quát của d.
Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm N[3; -1] và có vectơ chỉ phương là u→=[−2;2]. Viết phương trình tổng quát của d.
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:
Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất
Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất
Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất
Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng
Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
Ví dụ mở đầu. Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy,\] cho đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[M_0[2;3]\] và nhận \[\overrightarrow{n}=[5;-1]\] làm một vectơ pháp tuyến. Tìm một điều kiện đối với \[x\] và \[y\] để điểm \[M[x;y]\] thuộc đường thẳng \[d.\]
Bài toán. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \[Oxy\], cho đường thẳng \[d\] qua \[M_0[x_0;y_0]\] và nhận \[\overrightarrow{n}=[A;B]\ne\overrightarrow{0}\] làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điểm \[M[x;y]\] thuộc đường thẳng \[d\] khi và chỉ khi \[A[x-x_0]+B[y-y_0]=0.\]
Chứng minh. Điểm \[M[x;y]\] thuộc đường thẳng \[d\] khi và chỉ khi \[\overrightarrow{M_0M}\] và \[\overrightarrow{u}\] vuông góc. Khi đó \[\begin{array}{ll}&\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0M}=0\\ \Leftrightarrow &A[x-x_0]+B[y-y_0]=0\end{array}\]
Chú ý. Phương trình trên khi khai triển sẽ có dạng \[Ax+By+C=0.\]
Định nghĩa. Phương trình dạng \[Ax+By+C=0\] gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, với điều kiện \[A\] và \[B\] không đồng thời bằng \[0\].
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho các điểm \[A[1;-2],\] \[B[3;-1],\] \[C[4;-3].\]
- Chứng minh 3 điểm \[A, B, C\] tạo thành tam giác.
- Viết phương trình tổng quát các đường thẳng \[AB, BC.\]
- Viết phương trình tổng quát của các đường cao đi qua \[A, B\] của tam giác \[ABC.\]
- Tìm tọa độ trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC.\]
10:11:2527/02/2019
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.
» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường tròn cực hay
I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình [d]: ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là [a2 + b2 ≠ 0] là phương trình tổng quát của đường thẳng [d] nhận
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- [d]: ax + c = 0 [a ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Oy
- [d]: by + c = 0 [b ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Ox
- [d]: ax + by = 0 [a2 + b2 ≠ 0]: [d] đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên [d] đi qua A [a;0] B[0;b] [a,b ≠ 0]
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng].
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
a] Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng:
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M[x;y] ∈ [d].
- Nếu điểm M[x;y] ∈ [d] thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số [vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số].
c] Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng:
d] Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A[xA;yA] và B[xB;yB] có dạng:
+ Nếu:
+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e] Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M[x0;y0] và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔
+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng [d] biết [d]: đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
* Lời giải: Vì [d] đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
⇒ PT tổng quát của đường thẳng [d] là: 2[x-1] - 3[y-2] = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d] đi qua điểm M[-1;2] và có VTCP
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M [1 ;-2] và có vtcp là
⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng:
a] đi qua M[3;2] và //Δ:
b] đi qua M[3;2] và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ PT đường thẳng [d] là:
b] đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là
⇒ PT [d] đi qua điểm M[3;2] và có VTPT
2[x-3] - [y-2] = 0 ⇔ 2x - y -4 = 0
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d]:
a] đi qua M[-2;3] và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b] đi qua M[4;-3] và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là
vì [d] vuông góc với Δ nên [d] nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒
⇒ PT [d] đi qua M[-2;3] có VTCP
b] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ Vậy [d] đi qua M[4;-3] có VTPT
2[x-4] - [y+3] = 0 ⇔ 2x - y - 11 = 0.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].
* Lời giải:
- Vì [d] đi qua 2 điểm A, B nên [d] có VTCP là:
⇒ Phương trình tham số của [d] là:
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- [d] có dạng: y = k[x-x0] + y0
Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k[x-x0] + y0
⇒ Vậy PTĐT [d] là: y = 3[x+1] + 2 ⇔ y = 3x + 5.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k
Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT [d] vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A[3;-1] và B[5;3]
* Lời giải:
- [d] vuông góc với AB nên nhận
- [d] đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:
xi = [xA+xB]/2 = [3+5]/2 = 4;
yi = [yA+yB]/2 = [-1+3]/2 = 1;
⇒ toạ độ của I[4;1]
⇒ [d] đi qua I[4;1] có VTPT [2;4] có PTTQ là:
2[x-4] + 4[y-1] = 0
⇔ 2x + 4y -12 = 0
⇔ x + 2y - 6 = 0.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước
- [d] đi qua M[x0;y0] và tạo với Ox 1 góc ∝ [00