Câu hỏi: Cực tiểu là gì?
Trả lời
Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trong khoảng [a; b] và điểm x0 ∈ [a; b]. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [x0 – h ; x0 +h], x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Mời bạn đọc cùng với Top lời giải tìm hiểu thêm về cực trị của hàm số qua bài viết dưới đây.
1. Lý thuyết cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K
a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.
3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý 1:
f[x] đạt cực trị tại x0 có đạo hàm tại x0 thì f‘[x0] = 0
Lưu ý:
+] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
+] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 2:
Định lý 3:
- Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc I:
+] Bước 1: Tìm tập xác định.
+] Bước 2: Tính y’ = f’[x]. Tìm x khi f’[x] = 0 hoặc f’[x] không xác định.
+] Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.
+] Bước 4: Lập bảng biến thiên.
+] Bước 5: Kết luận các điểm cực trị.
Quy tắc II
+] Bước 1: Tìm tập xác định.
+] Bước 2: Tính y’ = f’[x]. Giải phương trình f’[x] = 0 để tìm các nghiệm x1, x2,… [nếu có] của nó.
+] Bước 3: Tính f’’[x] và suy ra f’’[x1], f’’[x2],…
+] Bước 4: Dựa vào dấu f’’[x1], f’’[x2],… để kết luận.
5. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho hàm số y = f[x] liên tục trên R , có đạo hàm f′ = x[x−1]2[x+1]3. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài giải:
Ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x = -1 và x = 0.
Bài tập 2: Giá trị cực đại của hàm số y = x3 - 3x + 1.
Bài giải:
Tập xác định : D=R.
Ta có: y′ = 3x2 − 3.
y′ = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x =-1.
x = 1 ⇒ y = -1.
x = -1 ⇒ y = 3.
Ta có các giới hạn : limx→−∞ = −∞; limx →+∞ = +∞.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số là yCD = 3.