Đề bài - bài 16 trang 8 sbt hình học 12 nâng cao
|
\(\eqalign{ & \overrightarrow {M{M'}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M'}} \cr& =\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {{O'}{M'}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \overrightarrow {O{M_1}} - {1 \over k}\overrightarrow {O{M_1}} + {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {{k'} - 1} \right)\overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {1 - {k'}} \right)\overrightarrow {{M_1}{O'}} . \cr} \) Đề bài Cho phép vị tựVtâmOtỉ số \(k \ne 1\) và phép vị tựVtâmOtỉ số k. Chứng minh rằng nếu kk=1 thì hợp thành củaVvàVlà một phép tịnh tiến. Lời giải chi tiết Với mỗi điểmM, ta lấyM1sao cho \(\overrightarrow {O{M_1}} = k\overrightarrow {OM} \)rồi lấy điểmMsao cho \(\overrightarrow {{O'}M'} = {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} \) thì hợp thànhVvàVbiến điểmMthànhM. Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {M{M'}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M'}} \cr& =\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {{O'}{M'}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \overrightarrow {O{M_1}} - {1 \over k}\overrightarrow {O{M_1}} + {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {{k'} - 1} \right)\overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {1 - {k'}} \right)\overrightarrow {{M_1}{O'}} . \cr} \) Chú ý rằng vìkk=1nên \({k'} = {1 \over k}\), bởi vậy đẳng thức trên trở thành : \(\overrightarrow {M{M'}} = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\left( {\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{O'}} } \right)\)\( = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} .\) Từ đó suy ra hợp thành củaVvàVlà phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} \).
|
