Đề bài
Hệ số của \[x^{31}\] trong khai triển của \[{\left[ {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]^{40}}\] là:
A. \[9880\] B. \[9980\]
C. \[10080\] D. \[10980\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức SHTQ trong khai triển nhị thức Niu-tơn \[{\left[ {a + b} \right]^n} \] là:
\[T_{k+1}= C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\] với \[a=x, b=\dfrac{1}{x^2}, n=40\].
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số:\[x^m.x^n=x^{m+n}\]; \[\dfrac{x^m}{x^n}=x^{mn}\] để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của\[x^{31}\]ta cho số mũ của \[x\] bằng \[31\], giải phương trình tìm\[k\] và tính hệ số của \[x^{31}\].
Lời giải chi tiết
SHTQ trong khai triển \[{\left[ {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]^{40}} \] là:
\[T_{k+1}= {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left[ {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]^k} \]
\[= {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}} \]
Hệ số của số hạng chứa \[x^{31}\] ứng với \[40-3k=31\] \[\Leftrightarrow k=3\]
Vậy hệ số của \[x^{31}\] là \[C_{40}^3=9880\]
Đáp án: A.