Đề bài
Lập phương trình của mặt phẳng \[[\alpha ]\] đi qua điểm M[3; -1; -5] đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
\[[\beta ]\]: 3x 2y + 2z + 7 = 0
\[[\gamma ]\]: 5x 4y + 3z + 1 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] vuông góc với hai mặt phẳng \[\left[ \beta \right],\left[ \gamma \right]\] thì \[\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ \beta \right]}}} ;\overrightarrow {{n_{\left[ \gamma \right]}}} } \right]\].
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \[[\beta ]\] có VTPT \[\overrightarrow {{n_\beta }} = [3; - 2;2]\]
Mặt phẳng \[[\gamma ]\] có VTPT\[\overrightarrow {{n_\gamma }} = [5; - 4;3]\].
Mặt phẳng \[[\alpha ]\] vuông góc với hai mặt phẳng \[[\beta ]\] và \[[\gamma ]\], do đó
\[\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \\
\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\gamma }}
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ;\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\]
Suy ra \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right] = [2;1; - 2]\]
Mặt khác \[[\alpha ]\] đi qua điểm M[3; -1; -5] và có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] .
Vậy phương trình của \[[\alpha ]\] là: 2[x 3] + 1[y + 1] 2[z + 5] = 0 hay 2x + y 2z 15 = 0.