Đề bài
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABCcạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy [ABC] và SC = 7a.
a] Tính góc giữa SA và BC.
b] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.
Lời giải chi tiết
a] Gọi Hlà trung điểm của đoạn BC. Qua Avẽ ADsong song với BCvà bằng đoạn HC thì góc giữa BCvà SAlà góc \[\widehat {SA{\rm{D}}}\]. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SDDA và khi đó:
\[\cos \widehat {SAD} = {{AD} \over {SA}} = {{HC} \over {SA}} = {{{{7a} \over 2}} \over {7a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}\]
Vậy góc giữa BCvà SAđược xác định sao cho \[\cos \widehat {SAD} = {{\sqrt 2 } \over 4}\]
Vì \[BC\parallel A{\rm{D}}\]nên BC song song với mặt phẳng [SAD]. Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng [SAD].
Ta kẻ CKSD, suy ra CK[SAD], do đó CKchính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCDvới đường cao CKxuất phát từ đỉnh góc vuông Cta có hệ thức:
\[{1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {S{C^2}}} + {1 \over {C{D^2}}} \Rightarrow {1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {{{\left[ {7{\rm{a}}} \right]}^2}}} + {1 \over {{{\left[ {{{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right]}^2}}}\]
[vì \[CD = AH = {{BC\sqrt 3 } \over 2} = {{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\]]
Do đó \[{1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {49{{\rm{a}}^2}}} + {4 \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {{3 + 4} \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {1 \over {21{{\rm{a}}^2}}}\]
Vậy \[CK = a\sqrt {21} \]
Chú ý.Nếu kẻ \[KI\parallel A{\rm{D}}\]và kẻ \[IJ\parallel CK\]thì IJlà đoạn vuông góc chung của SAvà BC.