Đề bài
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ {\matrix{{2\left| x \right| - 1\,\text{ với }\,x \le - 2,} \cr {\sqrt {2{x^2} + 1} \,\text{ với }\,x > - 2.} \cr} } \right.\]
Tìm \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ - }} f\left[ x \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} f\left[ x \right]\] \[\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left[ x \right]\] [nếu có].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm hàm số ứng với điều kiện của x, từ đó tính giới hạn.
Chú ý:
\[x \to x_0^ + \] nghĩa là\[x \to x_0 \] và\[x > x_0 \].
\[x \to x_0^ - \] nghĩa là\[x \to x_0 \] và\[x < x_0 \].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ - }} f\left[ x \right]= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ - }} \left[ {2\left| x \right| - 1} \right] \cr &= 2\left| { - 2} \right| - 1 = 3 \cr
& \mathop {\lim f[x]}\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3\cr &\text{Vì }\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ - }} f\left[ x \right]=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} f\left[ x \right]=3\cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left[ x \right] = 3. \cr} \]