Đề bài
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh \[2a\]. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tính độ dài đường sinh \[l\] và bán kính đáy \[r\] của hình nón.
+] Tính độ dài đường cao của hình nón, sử dụng công thức\[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \].
+] Tính diệntích xung quanh và thể tích của hình nón đó: \[{S_{xq}} = \pi rl,\,\,V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Lời giải chi tiết
Theo đề bài, đường kính của hình tròn đáy của nón bằng \[\displaystyle 2a\].
Vậy bán kính \[\displaystyle r = a\] và độ dài đường sinh của hình nón \[\displaystyle l= 2a\].
Suy ra chiều cao của hình nón:\[\displaystyle h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \]
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \[\displaystyle S_{xq} =πrl =π.a.2a=2a^2π\]
Thể tích khối nón là: \[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {a^2}.a\sqrt 3 = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over 3}\]